Q. 3- Um brinquedo de 0,150 \mathrm{~kg} executa um movimento harmônico simples na extremidade de uma mola horizontal de constante elástica k=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quando o objeto está a uma distância de 0,0120 \mathrm{~m} da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui velocidade igual a 0,300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: (a) a energia mecânica total do objeto quando ele está em qualquer ponto; (b) a amplitude do movimento; (c) a velocidade máxima atingida pelo objeto durante o movimento. ( 1,5 \mathrm{pt} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa: m=0{,}150\\ \mathrm{kg}.
  • constante elástica da mola: k=300\\ \mathrm{N/m}.
  • posição instantânea (deslocamento da posição de equilíbrio): x=0{,}0120\\ \mathrm{m}.
  • velocidade nesse instante: v=0{,}300\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) a energia mecânica total do objeto em qualquer ponto do movimento;
(b) a amplitude A do movimento harmônico simples;
(c) a velocidade máxima v_{\max} atingida pelo objeto.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinho passo a passo.
Para um movimento harmônico simples (MHS) sem atrito a energia mecânica total E é constante ao longo do tempo e é soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U:
E = K + U.
A energia cinética de uma massa m com velocidade v é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa (em kg) e v é a velocidade (em m/s).
A energia potencial armazenada numa mola de constante elástica k quando a mola está deformada de uma distância x da posição de equilíbrio é
U = \tfrac{1}{2} k x^{2},
onde k é em N/m e x em m.
Outra expressão muito útil para MHS é que a energia total também pode ser escrita em função da amplitude A:
E = \tfrac{1}{2} k A^{2}.
Aqui A é a amplitude máxima do deslocamento; em x= \pm A toda a energia está em forma de U.
Finalmente, a velocidade máxima no MHS (quando passa pela posição de equilíbrio) pode ser obtida por
v_{\max} = \omega A,
onde \omega é a frequência angular dada por
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Outra forma equivalente e às vezes mais direta é usar que, no ponto de máxima velocidade, toda a energia é cinética, logo
v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}.

Passo 3

Calcular a energia total E usando E = K + U = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} k x^{2}.
Primeiro a energia cinética no instante dado:
K = \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}150\cdot (0{,}300)^{2}.
Calculemos passo a passo:
(0{,}300)^{2}=0{,}090\quad\text{(porque }0{,}3\times0{,}3=0{,}09\text{, aqui escrevemos com três casas }0{,}090\text{)}.ê
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}150 = 0{,}075.
K = 0{,}075\cdot 0{,}090 = 0{,}00675\\ \mathrm{J}.
Agora a energia potencial elástica no mesmo instante:
U = \tfrac{1}{2} k x^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 300\cdot (0{,}0120)^{2}.
Calculemos:
(0{,}0120)^{2}=0{,}000144\quad\text{(porque }1{,}20\times1{,}20=1{,}44\text{ e deslocando casas dá }0{,}000144\text{)}.á
\tfrac{1}{2}\cdot 300 = 150.
U = 150\cdot 0{,}000144 = 0{,}0216\\ \mathrm{J}.
Somando:
E = K + U = 0{,}00675 + 0{,}0216 = 0{,}02835\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma consistente com os dados (três algarismos significativos): E \approx 0{,}0284\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Determinar a amplitude A usando E = \tfrac{1}{2} k A^{2}. Despejando A:
A = \sqrt{\dfrac{2E}{k}}.
Substituindo o valor de E encontrado:
A = \sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}02835}{300}}.
Calculemos:
2\cdot 0{,}02835 = 0{,}05670.
\dfrac{0{,}05670}{300} = 0{,}000189.
A = \sqrt{0{,}000189} \approx 0{,}01374\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos: A \approx 0{,}0137\\ \mathrm{m} (ou 1{,}37\\ \mathrm{cm}).
Observação rápida: faz sentido físico que A seja um pouco maior que o deslocamento dado x=0{,}0120\\ \mathrm{m}, porque no instante dado ainda havia velocidade e portanto não estava no extremo.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v_{\max}.
Método 1 (usar \omega A):
Calcule \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}:
\omega = \sqrt{\dfrac{300}{0{,}150}} = \sqrt{2000} \approx 44{,}7214\\ \mathrm{rad/s}.
Então
v_{\max} = \omega A \approx 44{,}7214\cdot 0{,}01374 \approx 0{,}6145\\ \mathrm{m/s}.
Método 2 (usar energia): já que v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}, substituindo:
v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}02835}{0{,}150}} = \sqrt{0{,}378} \approx 0{,}6148\\ \mathrm{m/s}.
As duas formas dão praticamente o mesmo valor (pequenas diferenças por arredondamento). Arredondando para três algarismos significativos: v_{\max}\approx 0{,}615\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo final dos resultados (valores arredondados coerentemente com os dados e com três algarismos significativos).

Resposta

E = 0{,}0284\\ \mathrm{J}
A = 0{,}0137\\ \mathrm{m}
v_{\max} = 0{,}615\\ \mathrm{m/s}

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