Q. 3- Um brinquedo de
executa um movimento harmônico simples na extremidade de uma mola horizontal de constante elástica
. Quando o objeto está a uma distância de
da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui velocidade igual a
. Determine: (a) a energia mecânica total do objeto quando ele está em qualquer ponto; (b) a amplitude do movimento; (c) a velocidade máxima atingida pelo objeto durante o movimento. (
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- massa:
. - constante elástica da mola:
. - posição instantânea (deslocamento da posição de equilíbrio):
. - velocidade nesse instante:
.
O enunciado pede:
(a) a energia mecânica total do objeto em qualquer ponto do movimento;
(b) a amplitude do movimento harmônico simples;
(c) a velocidade máxima atingida pelo objeto.
(a) a energia mecânica total do objeto em qualquer ponto do movimento;
(b) a amplitude
(c) a velocidade máxima
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinho passo a passo.
Para um movimento harmônico simples (MHS) sem atrito a energia mecânica total
é constante ao longo do tempo e é soma da energia cinética
e da energia potencial elástica
:
A energia cinética de uma massa
com velocidade
é
onde
é a massa (em kg) e
é a velocidade (em m/s).
A energia potencial armazenada numa mola de constante elástica
quando a mola está deformada de uma distância
da posição de equilíbrio é
onde
é em N/m e
em m.
Outra expressão muito útil para MHS é que a energia total também pode ser escrita em função da amplitude
:
Aqui
é a amplitude máxima do deslocamento; em
toda a energia está em forma de
.
Finalmente, a velocidade máxima no MHS (quando passa pela posição de equilíbrio) pode ser obtida por
onde
é a frequência angular dada por
Outra forma equivalente e às vezes mais direta é usar que, no ponto de máxima velocidade, toda a energia é cinética, logo
Passo 3
Calcular a energia total
usando
.
Primeiro a energia cinética no instante dado:
Calculemos passo a passo:
Agora a energia potencial elástica no mesmo instante:
Calculemos:
Somando:
Arredondando de forma consistente com os dados (três algarismos significativos):
Passo 4
Determinar a amplitude
usando
. Despejando
:
Substituindo o valor de
encontrado:
Calculemos:
Arredondando para três algarismos significativos:
(ou
).
Observação rápida: faz sentido físico que
seja um pouco maior que o deslocamento dado
, porque no instante dado ainda havia velocidade e portanto não estava no extremo.
Passo 5
Calcular a velocidade máxima
.
Método 1 (usar
):
Calcule :
Calcule
Então
Método 2 (usar energia): já que
, substituindo:
As duas formas dão praticamente o mesmo valor (pequenas diferenças por arredondamento). Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Resumo final dos resultados (valores arredondados coerentemente com os dados e com três algarismos significativos).