Q. 2- Um orgulhoso pescador de águas profundas pendura u, m peixe de 65,0 \mathrm{~kg} na extremidade de uma mola ideal de massa desprezível. O peixe estica a mola de 0,120 \mathrm{~m}. O peixe é puxado 5,00 \mathrm{~cm} para baixo e liberado, (a) qual é o período de oscilação do peixe? (b) Que velocidade máxima ele alcançará? ( 1,5 \mathrm{pt} ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Qual é o período de oscilação do peixe?
    2. (b) Qual é a velocidade máxima que ele alcançará?
  • Dados fornecidos:
    • massa do peixe: m=65{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • extensão estática da mola sob o peso do peixe: x_{\text{eq}}=0{,}120\\ \mathrm{m} (essa é a elongação em equilíbrio causada pelo peso).
    • deslocamento inicial a partir do equilíbrio: A=5{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0500\\ \mathrm{m} (puxaram 5,00 cm para baixo e soltaram).
    • a mola é ideal e de massa desprezível.
    • usarei g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Encontrar a constante elástica k da mola a partir da condição de equilíbrio estático.
Explicação física: na posição de equilíbrio a força elástica para cima iguala o peso para baixo. A lei de Hooke para a mola é \,F_{\text{mola}}=k x, e o peso é mg. Em equilíbrio:
k x_{\text{eq}} = m g.
Aqui:
k = \frac{m g}{x_{\text{eq}}}.
Agora calculamos numericamente passo a passo:
m g = 65{,}0\cdot 9{,}80 = 637{,}0\\ \mathrm{N}.
k = \frac{637{,}0}{0{,}120} = 5308{,}333\ldots\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com base nos algarismos significativos dos dados:
k \approx 5{,}31\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Relembrando a teoria do movimento harmônico simples (MHS) para massa presa a mola:
  • A equação do movimento para pequenas oscilações é
m\ddot{x} + k x = 0,
cuja solução é oscilatória com pulsação natural
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
  • O período \,T (tempo de uma oscilação completa) é dado por
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.
Aqui \,m é a massa (em \mathrm{kg}), \,k a constante da mola (em \mathrm{N/m}), \,\omega em \mathrm{rad/s} e \,T em segundos.

Passo 4

Cálculo do período T com os valores que obtivemos.
Primeiro calculamos o fator \sqrt{m/k}:
\frac{m}{k} = \frac{65{,}0}{5308{,}333\ldots} \approx 0{,}0122456\\ \mathrm{s^{2}}.
\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 0{,}11066\\ \mathrm{s}.
Logo
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 2\pi\cdot 0{,}11066 \approx 0{,}695\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: o peixe faz uma oscilação em cerca de 0{,}695\\ \mathrm{s}. Respire fundo — menos de um segundo por oscilação!

Passo 5

Cálculo da velocidade máxima v_{\max}.
Teoria e fórmulas:
  • Para MHS com amplitude A, a velocidade máxima ocorre ao passar pela posição de equilíbrio e vale
v_{\max} = \omega A,
onde \omega=\sqrt{k/m}.
  • Alternativamente, por conservação de energia: a energia potencial elástica máxima \tfrac{1}{2}kA^{2} se transforma em energia cinética máxima \tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}, levando à mesma relação v_{\max}=\omega A.
Cálculo numérico:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{\sqrt{m/k}} \approx \frac{1}{0{,}11066}\approx 9{,}036\\ \mathrm{rad/s}.
A = 0{,}0500\\ \mathrm{m}.
v_{\max} = \omega A \approx 9{,}036\cdot 0{,}0500 = 0{,}4518\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
v_{\max} \approx 0{,}452\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo rápido (checagem de consistência): valores fazem sentido fisicamente — período da ordem de frações de segundo para uma mola relativamente rígida e massa grande; velocidade máxima moderada (menos de 1 m/s) para amplitude de só 5 cm.
Força um último incentivo: você já tem a receita para problemas desse tipo — encontrar k pela estática, usar T=2\pi\sqrt{m/k} e v_{\max}=\omega A. Com isso na cabeça, a prova fica mais amigável!

Resposta

T \approx 0{,}695\\ \mathrm{s}
v_{\max} \approx 0{,}452\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados