Um buraco negro é uma região do espaço onde a gravidade é tão intensa que nada, nem mesmo a luz, pode escapar. Jogar algo em um buraco negro é, portanto, um processo irreversível, pelo menos no sentido cotidiano da palavra. De fato, ele é irreversível também no sentido termodinâmico da palavra: adicionar massa a um buraco negro aumenta sua entropia. Ocorre que não há meio de dizer, pelo menos para quem está do lado de fora, que tipo de matéria foi usada para criar um buraco negro. Portanto, a entropia de um buraco negro deve ser maior que a entropia de qualquer tipo de matéria concebível que teria sido usada em sua formação. A entropia de um buraco negro, obtida por Stephen Hawking em 1973, é dada por
S_{B N}=\frac{8 \pi^{2} G M^{2}}{h c} k_{B},
onde M é a massa do buraco negro, G=6,67 \times 10^{-11} N \cdot m^{2} / k g^{2} é a constante universal da gravitação, c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} é a velocidade da luz no vácuo, h=6,63 \times 10^{-34} J.s é a constante de Planck e k_{B}=1,38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K} é a constante de Boltzmann.
a) Vimos em aula que a variação macroscópica de entropia, a volume constante, é \Delta S=\frac{\Delta U}{T}, ou em forma infinitesimal, \frac{1}{T}=\frac{d S}{d U}. Use isto para calcular a temperatura de um buraco negro em função de sua massa M. (A energia é U=M c^{2}.)
b) Calcule o resultado desta temperatura para um buraco negro de massa igual a do nosso Sol ( M \approx 2 \times 10^{30} \mathrm{~kg} ).
c) Represente graficamente a entropia em função da energia e discuta as consequências da forma deste gráfico.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado fornece a entropia de um buraco negro:
S_{BN}=\frac{8\pi^{2}G M^{2}}{h c}\,k_{B}.
  • Constantes fornecidas (usar exatamente os valores dados quando necessário):
    • G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}},
    • c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
    • h=6{,}63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
    • k_{B}=1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • Relação entre energia e massa dada no enunciado: a energia total é U=M c^{2}.
Perguntas pedidas:
(a) Usar a relação termodinâmica \dfrac{1}{T}=\dfrac{dS}{dU} para calcular a temperatura T do buraco negro em função da massa M (ou em função de U).
(b) Calcular numericamente essa temperatura para um buraco negro com massa igual à do Sol, M\approx 2\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
(c) Representar graficamente S em função de U e discutir as consequências da forma desse gráfico.

Passo 2

Transformar S_{BN} para escrever S como função de U (pois a relação termodinâmica usa dS/dU).
  • Temos U=M c^{2}, logo M=\dfrac{U}{c^{2}}.
  • Substituindo em S_{BN}:
S(U)=\frac{8\pi^{2}G}{h c}\left(\frac{U}{c^{2}}\right)^{2}k_{B}.
  • Simplificando as potências de c:
S(U)=\frac{8\pi^{2}G k_{B}}{h c^{5}}\,U^{2}.
  • Para ficar mais compacto, defino a constante positiva
A=\frac{8\pi^{2}G k_{B}}{h c^{5}},
assim
S(U)=A\,U^{2}.
Observação didática rápida: aqui usei apenas a substituição M=U/c^{2} e regras de potências. A entropia resulta ser proporcional a U^{2} (ou a M^{2}), ou seja, cresce como o quadrado da energia/massa.

Passo 3

Aplicar a definição termodinâmica \dfrac{1}{T}=\dfrac{dS}{dU} para obter T.
  • Derivando S(U)=A U^{2} em relação a U:
\frac{dS}{dU}=2A U.
  • Usando \dfrac{1}{T}=\dfrac{dS}{dU} obtemos
\frac{1}{T}=2A U \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{1}{2A U}.
  • Substituindo A=\dfrac{8\pi^{2}G k_{B}}{h c^{5}}:
T=\frac{1}{2\left(\dfrac{8\pi^{2}G k_{B}}{h c^{5}}\right)U} =\frac{h c^{5}}{16\pi^{2}G k_{B}\,U}.
  • Voltando a escrever em função de M usando U=M c^{2}:
T(M)=\frac{h c^{5}}{16\pi^{2}G k_{B}\,M c^{2}} =\frac{h c^{3}}{16\pi^{2}G k_{B}\,M}.
Comentário didático: cada passo usou regras elementares (derivada de U^{2} é 2U, substituição algébrica). A expressão final mostra que a temperatura do buraco negro é inversamente proporcional à sua massa: quanto mais massivo, mais frio.

Passo 4

Interpretação física da fórmula obtida e verificação dimensional (breve e didática).
  • Fórmula final (em função de M):
T(M)=\frac{h c^{3}}{16\pi^{2}G k_{B}\,M}.
  • Dimensionalmente: h tem unidade \mathrm{J\cdot s}, c^{3} \mathrm{m^{3}/s^{3}}, G em \mathrm{m^{3}/(kg\cdot s^{2})}, k_{B} em \mathrm{J/K} e M em \mathrm{kg}. Ao combinar, as unidades de J e \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}} se cancelam corretamente e fica \mathrm{K}. (Isso confirma coerência dimensional.)
  • Física intuitiva: temperatura decresce com M. Assim buracos negros grandes são extremamente frios; buracos negros muito pequenos seriam muito quentes.

Passo 5

Calcular numericamente T para M=M_{\odot}\approx 2\times10^{30}\\ \mathrm{kg} usando a expressão em função de M.
  • Reescrever a expressão usada:
T(M)=\frac{h c^{3}}{16\pi^{2}G k_{B}\,M}.
  • Vou calcular numericamente em etapas sem usar uma calculadora complexa, apenas organizando os termos e potências de 10.
  1. Calcular c^{3}:
c^{3}=(3\times10^{8})^{3}=27\times10^{24}=2{,}7\times10^{25}.
  1. Produto h c^{3}:
h c^{3}=6{,}63\times10^{-34}\times 2{,}7\times10^{25} =(6{,}63\times2{,}7)\times10^{-34+25}.
6{,}63\times2{,}7\approx17{,}901\quad\Rightarrow\quad h c^{3}\approx1{,}7901\times10^{-8}.
  1. Calcular constante do denominador 16\pi^{2}G k_{B} M.
  • Primeiro 16\pi^{2}: \pi^{2}\approx9{,}8696 então 16\pi^{2}\approx157{,}914.
  • Multiplicar por G: 157{,}914\times6{,}67\times10^{-11}\approx(157{,}914\times6{,}67)\times10^{-11}. 157{,}914\times6{,}67\approx1053{,}4\quad\Rightarrow\quad \approx1{,}0534\times10^{3}\times10^{-11}=1{,}0534\times10^{-8}.
  • Multiplicar por k_{B}: 1{,}0534\times10^{-8}\times1{,}38\times10^{-23}\approx(1{,}0534\times1{,}38)\times10^{-31}. 1{,}0534\times1{,}38\approx1{,}455\quad\Rightarrow\quad \approx1{,}455\times10^{-31}.
  • Multiplicar por M=2\times10^{30}: 1{,}455\times10^{-31}\times2\times10^{30}=2{,}91\times10^{-1}=0{,}291.
  • Portanto denominador total \approx0{,}291.
  1. Finalmente a temperatura:
T\approx\frac{1{,}7901\times10^{-8}}{0{,}291}\approx6{,}15\times10^{-8}\\ \mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente e considerando as aproximações, obtemos
T(M_{\odot})\approx6\times10^{-8}\\ \mathrm{K}.
Comentário empático: é absurdamente fria — muito, muito abaixo da temperatura ambiente e também abaixo da temperatura da radiação cósmica de fundo ( \sim 2{,}7\\ \mathrm{K}), logo um buraco negro solar atualmente absorveria mais radiação do ambiente do que emitiria por efeito Hawking.

Passo 6

Representação gráfica de S em função de U e discussão das consequências (didática, passo a passo).
  • Equação para plotar:
S(U)=A U^{2},\qquad A=\frac{8\pi^{2}G k_{B}}{h c^{5}}>0.
  • Formato do gráfico:
    • É uma parábola que passa pela origem ( S(0)=0) e abre para cima (coeficiente A positivo).
    • Para U>0 (energia positiva), S cresce quadráticamente com U. Gráfico qualitativo: curva em forma de U aberta para cima, mas considerando apenas o ramo U\ge0 (energia positiva).
  • Relação com temperatura e inclinação:
    • A inclinação da curva num ponto é \dfrac{dS}{dU}=2A U=\dfrac{1}{T}. Assim a inclinação cresce linearmente com U.
    • Para grandes U a inclinação é grande, o que significa 1/T grande, logo T pequena. Portanto buracos negros mais massivos (maior U) têm temperaturas menores.
  • Consequências termodinâmicas importantes (explicadas devagar):
    1. Calor específico negativo:
      • Diferenciando T em relação a U \dfrac{dT}{dU}=-\dfrac{h c^{5}}{16\pi^{2}G k_{B}}\,\dfrac{1}{U^{2}}<0.
      • Isso implica que a capacidade calorífica C=\dfrac{dU}{dT}=\left(\dfrac{dT}{dU}\right)^{-1} é negativa. Em palavras: quando um buraco negro perde energia (evapora), sua temperatura aumenta — comportamento oposto de corpos ordinários e isso conduz a instabilidades térmicas em certos ambientes (por exemplo, não há equilíbrio estável em um banho térmico).
    2. Evaporação de Hawking e estabilidade:
      • Buracos negros pequenos (pequeno M) têm T elevada e portanto emitem radiação forte e evaporam rapidamente; buracos negros grandes têm T muito baixa e, se estiverem em um ambiente mais quente (por ex. radiação cósmica de fundo), eles tendem a absorver mais do que emitir.
    3. Entropia extremamente grande para massas macroscópicas:
      • Como S\propto M^{2}, um buraco negro possui entropia enorme comparada à entropia da matéria normal com a mesma energia; por isso se diz que um buraco negro maximiza a entropia para uma dada energia/contenção gravitacional.
    4. Interpretação estatística (sintética):
      • A entropia proporcional à área (pois M^{2} corresponde à área do horizonte) sugere que os graus de liberdade fundamentais que contam os microestados estejam relacionados à superfície do horizonte, não ao volume — um ponto central em discussões modernas sobre gravidade quântica (apenas comentário, sem necessidade de detalhes).

Resposta

(a) \displaystyle T(M)=\frac{h c^{3}}{16\pi^{2}G k_{B}\,M}.
(b) \displaystyle T(M_{\odot})\approx6\times10^{-8}\\ \mathrm{K}.
(c) \displaystyle S(U)=\frac{8\pi^{2}G k_{B}}{h c^{5}}\,U^{2}, que é uma parábola (abertura para cima) passando por S(0)=0. Consequências principais: temperatura T=(2A U)^{-1} decresce com U (buracos negros mais massivos são mais frios), a capacidade térmica é negativa (instabilidade térmica) e buracos negros concentram entropia extremamente grande para uma dada energia.

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