Partindo da Segunda Lei de Newton para um oscilador forçado e amortecido, a equação do movimento é modelada por:
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=F_{0} \cos \left(\omega_{d} t\right)
Desafio: Resolva rigorosamente esta Equação Diferencial de segunda ordem não homogênea. Demonstre os passos matemáticos (utilizando coeficientes indeterminados ou o formalismo dos números complexos) para chegar à solução do estado estacionário x(t)=A \cos \left(\omega_{d} t-\varphi\right), determinando as expressões exatas e isoladas para a amplitude A e para a constante de fase \varphi.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do movimento de um oscilador forçado e amortecido:
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=F_{0} \cos \left(\omega_{d} t\right).
As constantes e incógnitas fornecidas são:
  • m: massa do oscilador (positiva).
  • b: coeficiente de amortecimento (geralmente b\ge 0).
  • k: constante elástica da mola (positiva).
  • F_{0}: amplitude da força externa aplicada.
  • \omega_{d}: frequência angular da força externa (frequência de excitação).
    O que o problema pede:
  • Encontrar a solução do estado estacionário (a resposta forçada em regime permanente) na forma
x(t)=A\cos\!\big(\omega_{d} t-\varphi\big),
determinando expressões fechadas e isoladas para a amplitude A e a fase \varphi.

Passo 2

Ideia do método (complexos): representar a força cosseno como parte real de um exponencial complexo e procurar uma solução particular também na forma exponencial complexa. Explico passo a passo e por que isso funciona.
Observação útil: \cos(\omega_{d} t)=\operatorname{Re}\{e^{i\omega_{d} t}\}. Como a EDO é linear com coeficientes constantes, se acharmos uma solução complexa x_{\mathbb{C}}(t) para a força complexa F_{0} e^{i\omega_{d} t}, então a parte real de x_{\mathbb{C}}(t) é solução para a força real F_{0}\cos(\omega_{d}t). Assim procuramos uma solução particular complexa da forma
x_{\mathbb{C},p}(t)=X e^{i\omega_{d}t},
onde X é um número complexo (amplitude complexa, independente de t). Vou determinar X resolvendo a EDO complexa correspondente:
m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\big(X e^{i\omega_{d}t}\big)+b\frac{d}{dt}\big(X e^{i\omega_{d}t}\big)+k\big(X e^{i\omega_{d}t}\big)=F_{0} e^{i\omega_{d}t}.

Passo 3

Calcular as derivadas e substituir:
\frac{d}{dt}\big(X e^{i\omega_{d}t}\big)=i\omega_{d} X e^{i\omega_{d}t}, \qquad \frac{d^{2}}{dt^{2}}\big(X e^{i\omega_{d}t}\big)=-\omega_{d}^{2} X e^{i\omega_{d}t}.
Substituindo na EDO complexa:
m(-\omega_{d}^{2} X)e^{i\omega_{d}t}+b(i\omega_{d} X)e^{i\omega_{d}t}+k X e^{i\omega_{d}t}=F_{0} e^{i\omega_{d}t}.
Como e^{i\omega_{d}t} nunca é zero, podemos cancelar esse fator, obtendo uma equação algébrica para X:
\big(k-m\omega_{d}^{2}+i b \omega_{d}\big)X=F_{0}.
Logo
X=\frac{F_{0}}{k-m\omega_{d}^{2}+i b \omega_{d}}.

Passo 4

Interpretar X em módulo e fase. Escrevemos o denominador como um número complexo
D:=k-m\omega_{d}^{2}+i b \omega_{d}.
Sejam \Re(D)=k-m\omega_{d}^{2} e \Im(D)=b\omega_{d}. O módulo de D é
|D|=\sqrt{\big(k-m\omega_{d}^{2}\big)^{2}+\big(b\omega_{d}\big)^{2}}.
Logo o módulo de X é
|X|=\frac{F_{0}}{|D|}=\frac{F_{0}}{\sqrt{\big(k-m\omega_{d}^{2}\big)^{2}+\big(b\omega_{d}\big)^{2}}}.
A fase (argumento) de D é
\arg(D)=\operatorname{atan2}\!\big(b\omega_{d},\,k-m\omega_{d}^{2}\big),
ou, quando k-m\omega_{d}^{2}\neq 0, \arg(D)=\arctan\!\big(\dfrac{b\omega_{d}}{k-m\omega_{d}^{2}}\big) com os cuidados de quadrante. Como X=\dfrac{F_{0}}{D}, tem-se
\arg(X)=-\arg(D)=-\operatorname{atan2}\!\big(b\omega_{d},\,k-m\omega_{d}^{2}\big).

Passo 5

Passar da solução complexa para a solução real. A solução particular real buscada é a parte real de x_{\mathbb{C},p}(t)=X e^{i\omega_{d}t}. Escrevendo X em forma polar X=|X|e^{i\arg(X)}, obtemos
X e^{i\omega_{d}t}=|X|e^{i(\omega_{d}t+\arg(X))}.
Tomando a parte real:
x_{p}(t)=\operatorname{Re}\{X e^{i\omega_{d}t}\}=|X|\cos\!\big(\omega_{d}t+\arg(X)\big).
Como \arg(X)=-\arg(D), escrevemos
x_{p}(t)=|X|\cos\!\big(\omega_{d}t-\arg(D)\big).
Comparando com a forma desejada x(t)=A\cos(\omega_{d}t-\varphi), identificamos:
A=|X|=\frac{F_{0}}{\sqrt{\big(k-m\omega_{d}^{2}\big)^{2}+\big(b\omega_{d}\big)^{2}}}
e
\varphi=\arg(D)=\operatorname{atan2}\!\big(b\omega_{d},\,k-m\omega_{d}^{2}\big).
Observação sobre sinais/quadrantes: usar \operatorname{atan2}(y,x) garante que \varphi esteja no quadrante correto; se escrever apenas \arctan, pode ser necessário ajustar adicionando \pi quando k-m\omega_{d}^{2}<0.

Passo 6

Rigor: solução geral e por que o termo particular é o estado estacionário. A solução geral da EDO é soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t).
A equação homogênea é
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0,
com equação característica
m r^{2}+b r + k=0,
cujas raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}.
Para amortecimento físico ( b>0), as partes reais das raízes são negativas, logo x_{h}(t) é soma de exponenciais com fatores e^{(\Re r)t} que decaem. Assim, para t\to\infty os termos transitórios x_{h}(t) desaparecem e resta apenas x_{p}(t), que é justamente o estado estacionário:
x_{\text{estacionário}}(t)=A\cos\!\big(\omega_{d}t-\varphi\big),á
com A e \varphi dados acima. Isso completa a demonstração rigorosa.

Resposta

A=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{\big(k-m\omega_{d}^{2}\big)^{2}+\big(b\omega_{d}\big)^{2}}}
\displaystyle \varphi=\operatorname{atan2}\!\big(b\omega_{d},\,k-m\omega_{d}^{2}\big)

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