Partindo da Segunda Lei de Newton para um oscilador forçado e amortecido, a equação do movimento é modelada por:
Desafio: Resolva rigorosamente esta Equação Diferencial de segunda ordem não homogênea. Demonstre os passos matemáticos (utilizando coeficientes indeterminados ou o formalismo dos números complexos) para chegar à solução do estado estacionário
, determinando as expressões exatas e isoladas para a amplitude
e para a constante de fase
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do movimento de um oscilador forçado e amortecido:
As constantes e incógnitas fornecidas são:
-
: massa do oscilador (positiva). -
: coeficiente de amortecimento (geralmente ). -
: constante elástica da mola (positiva). -
: amplitude da força externa aplicada. -
: frequência angular da força externa (frequência de excitação).
O que o problema pede: - Encontrar a solução do estado estacionário (a resposta forçada em regime permanente) na forma
determinando expressões fechadas e isoladas para a amplitude
e a fase
.
Passo 2
Ideia do método (complexos): representar a força cosseno como parte real de um exponencial complexo e procurar uma solução particular também na forma exponencial complexa. Explico passo a passo e por que isso funciona.
Observação útil:
. Como a EDO é linear com coeficientes constantes, se acharmos uma solução complexa
para a força complexa
, então a parte real de
é solução para a força real
. Assim procuramos uma solução particular complexa da forma
onde
é um número complexo (amplitude complexa, independente de
). Vou determinar
resolvendo a EDO complexa correspondente:
Passo 3
Calcular as derivadas e substituir:
Substituindo na EDO complexa:
Como
nunca é zero, podemos cancelar esse fator, obtendo uma equação algébrica para
:
Logo
Passo 4
Interpretar
em módulo e fase. Escrevemos o denominador como um número complexo
Sejam
e
. O módulo de
é
Logo o módulo de
é
A fase (argumento) de
é
ou, quando
,
com os cuidados de quadrante. Como
, tem-se
Passo 5
Passar da solução complexa para a solução real. A solução particular real buscada é a parte real de
. Escrevendo
em forma polar
, obtemos
Tomando a parte real:
Como
, escrevemos
Comparando com a forma desejada
, identificamos:
e
Observação sobre sinais/quadrantes: usar
garante que
esteja no quadrante correto; se escrever apenas
, pode ser necessário ajustar adicionando
quando
.
Passo 6
Rigor: solução geral e por que o termo particular é o estado estacionário. A solução geral da EDO é soma da solução homogênea e da solução particular:
A equação homogênea é
com equação característica
cujas raízes são
Para amortecimento físico (
), as partes reais das raízes são negativas, logo
é soma de exponenciais com fatores
que decaem. Assim, para
os termos transitórios
desaparecem e resta apenas
, que é justamente o estado estacionário:
com
e
dados acima. Isso completa a demonstração rigorosa.