(Dedução Completa de Posição) Uma partícula de
está fixa a uma mola de
. O conjunto move-se num fluido que produz amortecimento de
. Em
, a partícula é deslocada para a coordenada
e solta do repouso (
). Qual é a função da posição temporal exata
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Amortecimento viscous:
. - Condições iniciais em
: posição e velocidade .
O que o problema pede:
- Determinar a função temporal exata da posição
e escolher qual das alternativas (a)–(e) é a correta.
Passo 2
Montar a equação do movimento. Pela 2ª lei de Newton, somando as forças (força elástica para a direita negativa se a posição positiva esticar a mola, e força de amortecimento proporcional a
):
Explicando:
é a posição,
é a velocidade e
é a aceleração; o termo
vem da mola (lei de Hooke) e o termo
é a força de amortecimento proporcional à velocidade.
Passo 3
Colocar em forma padrão dividindo por
:
Definimos parâmetros úteis:
Aqui:
-
é a frequência natural (sem amortecimento) em . -
é a taxa de amortecimento (metade de ), em .
Calculemos numericamente:
Passo 4
Determinar o regime de amortecimento comparando
e
:
logo o sistema é subamortecido (underdamped). Nesse caso a solução tem oscilação amortecida com frequência angular
dada por
Calculemos:
Passo 5
Escrever a solução geral para o caso subamortecido. A forma padrão é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Interpretação rápida:
é o envelope exponencial de decaimento; dentro dele há uma oscilação com frequência
.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para achar
e
.
- Posicão inicial
:
Portanto
- Velocidade inicial
.
Primeiro derivamos. Usando a regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
Agora avaliamos em
:
Simplificando (pois
):
Impondo
, obtemos
Calculemos numericamente:
Racionalizando (opcional) para uma forma mais “bonita”:
Então
Passo 7
Montar a solução final substituindo
e
:
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa (a).
Resposta
a)