(Dedução Completa de Posição) Uma partícula de 2,0 \mathrm{~kg} está fixa a uma mola de k= 800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O conjunto move-se num fluido que produz amortecimento de b=40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Em t=0, a partícula é deslocada para a coordenada x_{0}=0,10 \mathrm{~m} e solta do repouso ( v_{0}=0 ). Qual é a função da posição temporal exata x(t) ?
a) x(t)=e^{-10 t}\left(0,10 \cos (10 \sqrt{3} t)+\frac{\sqrt{3}}{30} \sin (10 \sqrt{3} t)\right)
b) x(t)=0,10 e^{-20 t} \cos (10 \sqrt{3} t)
c) x(t)=e^{-10 t}\left(0,10 \cos (20 t)+\frac{1}{10} \sin (20 t)\right)
d) x(t)=0,10 e^{-10 t} \cos (20 t)
e) x(t)=e^{-20 t}\left(0,10 \cos (10 \sqrt{3} t)+\frac{\sqrt{3}}{10} \sin (10 \sqrt{3} t)\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
  • Massa: m=2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=800\\ \mathrm{N/m}.
  • Amortecimento viscous: b=40\\ \mathrm{kg/s}.
  • Condições iniciais em t=0: posição x_{0}=0,10\\ \mathrm{m} e velocidade v_{0}=0.
O que o problema pede:
  • Determinar a função temporal exata da posição x(t) e escolher qual das alternativas (a)–(e) é a correta.

Passo 2

Montar a equação do movimento. Pela 2ª lei de Newton, somando as forças (força elástica para a direita negativa se a posição positiva esticar a mola, e força de amortecimento proporcional a -x'):
m\,x'' + b\,x' + k\,x = 0.
Explicando: x(t) é a posição, x' é a velocidade e x'' é a aceleração; o termo k x vem da mola (lei de Hooke) e o termo b x' é a força de amortecimento proporcional à velocidade.

Passo 3

Colocar em forma padrão dividindo por m:
x'' + \frac{b}{m}x' + \frac{k}{m}x = 0.
Definimos parâmetros úteis:
\omega_0 \equiv \sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \gamma \equiv \frac{b}{2m}.
Aqui:
  • \omega_0 é a frequência natural (sem amortecimento) em \mathrm{rad/s}.
  • \gamma é a taxa de amortecimento (metade de b/m), em \mathrm{s^{-1}}.
Calculemos numericamente:
\frac{k}{m}=\frac{800}{2}=400 \quad\Rightarrow\quad \omega_0=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{40}{2\cdot 2}=\frac{40}{4}=10\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Determinar o regime de amortecimento comparando \gamma e \omega_0:
\gamma=10<\omega_0=20,
logo o sistema é subamortecido (underdamped). Nesse caso a solução tem oscilação amortecida com frequência angular \omega_d dada por
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}}.
Calculemos:
\omega_d=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Escrever a solução geral para o caso subamortecido. A forma padrão é
x(t)=e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Interpretação rápida: e^{-\gamma t} é o envelope exponencial de decaimento; dentro dele há uma oscilação com frequência \omega_d.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para achar A e B.
  1. Posicão inicial x(0)=x_{0}:
x(0)=e^{0}(A\cos 0 + B\sin 0)=A = x_{0}.
Portanto
A= x_{0}=0,10.
  1. Velocidade inicial x'(0)=v_{0}.
    Primeiro derivamos x(t). Usando a regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
x'(t) = -\gamma e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr) + e^{-\gamma t}\bigl(-A\omega_d\sin(\omega_d t)+B\omega_d\cos(\omega_d t)\bigr).
Agora avaliamos em t=0:
x'(0) = -\gamma (A\cos 0 + B\sin 0) + (-A\omega_d\sin 0 + B\omega_d\cos 0).
Simplificando (pois \cos 0=1,\\ \sin 0=0):
x'(0) = -\gamma A + B\omega_d.
Impondo x'(0)=v_{0}=0, obtemos
0 = -\gamma A + B\omega_d \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\gamma A}{\omega_d}.
Calculemos numericamente:
\gamma A = 10\cdot 0,10 = 1,0.
\omega_d = 10\sqrt{3}.
B=\frac{1,0}{10\sqrt{3}}=\frac{1}{10\sqrt{3}}.
Racionalizando (opcional) para uma forma mais “bonita”:
\frac{1}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{30}.
Então
B=\frac{\sqrt{3}}{30}.

Passo 7

Montar a solução final substituindo A e B:
x(t)=e^{-\gamma t}\Bigl( A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\Bigr) = e^{-10 t}\!\left(0,10\cos\bigl(10\sqrt{3}\,t\bigr)+\frac{\sqrt{3}}{30}\sin\bigl(10\sqrt{3}\,t\bigr)\right).
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

a) x(t)=e^{-10 t}\left(0,10 \cos (10 \sqrt{3} t)+\frac{\sqrt{3}}{30} \sin (10 \sqrt{3} t)\right)

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