Na busca de incentivar os estudantes da escola a participarem do evento de Halloween, um colégio decidiu sortear 3 prêmios para 10 estudantes que estiverem com as melhores fantasias, sendo os prêmios: uma bicicleta, um smartphone e um tablete. O número de maneiras distintas que podemos ter o resultado desse sorteio é?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente):
- Há
estudantes candidatos aos prêmios. - Serão sorteados
prêmios distintos: uma bicicleta, um smartphone e um tablete. - Pergunta: qual é o número de maneiras distintas de obter o resultado desse sorteio (ou seja, de atribuir esses
prêmios entre os estudantes)?
Passo 2
Interpretação do que conta como “uma maneira distinta” (importante):
- Os prêmios são diferentes entre si (bicicleta
smartphone tablete), então quem ganha a bicicleta é diferente de quem ganha o smartphone. - Presume-se que um mesmo estudante não recebe dois prêmios ao mesmo tempo (cada prêmio vai para um estudante distinto).
- Logo, contamos atribuições injectivas dos
prêmios aos estudantes — a ordem dos prêmios importa porque os prêmios são distintos.
Passo 3
Ideia básica do método (explicação intuitiva):
- Para contar quantas atribuições possíveis existem, pense em preencher, um a um, quem ganha cada prêmio.
- Para o primeiro prêmio (por exemplo, a bicicleta) há
escolhas de estudante. - Depois de escolher quem recebe a bicicleta, sobram
estudantes para receber o segundo prêmio (por exemplo, o smartphone). - Depois dessas duas escolhas, sobram
estudantes para receber o terceiro prêmio (o tablete). - Pelo princípio multiplicativo (regra do produto), o número total de atribuições é o produto dessas quantidades.
Passo 4
Aplicando a regra do produto em notação matemática:
Explicando cada fator:
- O fator
corresponde às opções para o primeiro prêmio. - O fator
corresponde às opções restantes para o segundo prêmio. - O fator
corresponde às opções restantes para o terceiro prêmio.
Passo 5
Ligando isso com a fórmula de permutações sem repetição (no caso geral):
- A fórmula geral para escolher e ordenar
elementos de um conjunto de distintos é
- Aqui
e , então
Passo 6
Outro modo equivalente (duas etapas) que ajuda a entender:
- Primeiro escolhe-se quais
estudantes (sem ordem): . - Depois atribui-se os
prêmios distintos a esses escolhidos: há maneiras de permutar os prêmios entre eles. - Portanto o total é
Passo 7
Exemplo pequeno para fixar (mais didático):
- Se houvesse
estudantes e prêmios distintos (p1, p2), as possibilidades seriam: - p1
A, p2 B - p1
A, p2 C - p1
B, p2 A - p1
B, p2 C - p1
C, p2 A - p1
C, p2 B
Total, que é . O raciocínio é exatamente o mesmo do caso com e .
- p1