Na busca de incentivar os estudantes da escola a participarem do evento de Halloween, um colégio decidiu sortear 3 prêmios para 10 estudantes que estiverem com as melhores fantasias, sendo os prêmios: uma bicicleta, um smartphone e um tablete. O número de maneiras distintas que podemos ter o resultado desse sorteio é?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente):
  • 10 estudantes candidatos aos prêmios.
  • Serão sorteados 3 prêmios distintos: uma bicicleta, um smartphone e um tablete.
  • Pergunta: qual é o número de maneiras distintas de obter o resultado desse sorteio (ou seja, de atribuir esses 3 prêmios entre os 10 estudantes)?

Passo 2

Interpretação do que conta como “uma maneira distinta” (importante):
  • Os prêmios são diferentes entre si (bicicleta \neq smartphone \neq tablete), então quem ganha a bicicleta é diferente de quem ganha o smartphone.
  • Presume-se que um mesmo estudante não recebe dois prêmios ao mesmo tempo (cada prêmio vai para um estudante distinto).
  • Logo, contamos atribuições injectivas dos 3 prêmios aos 10 estudantes — a ordem dos prêmios importa porque os prêmios são distintos.

Passo 3

Ideia básica do método (explicação intuitiva):
  • Para contar quantas atribuições possíveis existem, pense em preencher, um a um, quem ganha cada prêmio.
  • Para o primeiro prêmio (por exemplo, a bicicleta) há 10 escolhas de estudante.
  • Depois de escolher quem recebe a bicicleta, sobram 9 estudantes para receber o segundo prêmio (por exemplo, o smartphone).
  • Depois dessas duas escolhas, sobram 8 estudantes para receber o terceiro prêmio (o tablete).
  • Pelo princípio multiplicativo (regra do produto), o número total de atribuições é o produto dessas quantidades.

Passo 4

Aplicando a regra do produto em notação matemática:
\text{número de maneiras} = 10 \cdot 9 \cdot 8ú
Explicando cada fator:
  • O fator 10 corresponde às opções para o primeiro prêmio.
  • O fator 9 corresponde às opções restantes para o segundo prêmio.
  • O fator 8 corresponde às opções restantes para o terceiro prêmio.

Passo 5

Ligando isso com a fórmula de permutações sem repetição (no caso geral):
  • A fórmula geral para escolher e ordenar k elementos de um conjunto de n distintos é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}
  • Aqui n=10 e k=3, então
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot9\cdot8

Passo 6

Outro modo equivalente (duas etapas) que ajuda a entender:
  • Primeiro escolhe-se quais 3 estudantes (sem ordem): \displaystyle \binom{10}{3}=\frac{10!}{3!7!}.
  • Depois atribui-se os 3 prêmios distintos a esses 3 escolhidos: há 3! maneiras de permutar os prêmios entre eles.
  • Portanto o total é
\binom{10}{3}\cdot 3! = \frac{10!}{3!7!}\cdot 3! = \frac{10!}{7!} = 10\cdot9\cdot8.

Passo 7

Exemplo pequeno para fixar (mais didático):
  • Se houvesse 3 estudantes (A,B,C) e 2 prêmios distintos (p1, p2), as possibilidades seriam:
    • p1 \toA, p2 \toB
    • p1 \toA, p2 \toC
    • p1 \toB, p2 \toA
    • p1 \toB, p2 \toC
    • p1 \toC, p2 \toA
    • p1 \toC, p2 \toB
      Total =3\cdot2=6, que é P(3,2)=3!/1!=6. O raciocínio é exatamente o mesmo do caso com 10 e 3.

Resposta

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