QUESTÃO: Determine a função derivada das funções abaixo, e posteriormente, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto indicado.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a função derivada de
, isto é calcular . - Encontrar, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações dadas:
-
. - O ponto
é . - Vou verificar também se
realmente pertence ao gráfico de (ou seja, se ).
Passo 2
Primeiro reescrevo
de uma forma que facilita derivar usando regra da cadeia e a regra da potência:
Reescrever assim é útil porque a derivada de uma potência
é direta com a regra da potência combinada com a regra da cadeia.
Passo 3
Vou explicar as regras que vou usar, de um jeito bem prático.
Regra da potência (para função composta): se
é uma função e
é um número, então
Aqui:
-
é a função interna (no nosso caso ). -
é o expoente (no nosso caso ). -
é a derivada de em relação a .
Exemplo rápido para fixar: se
, então
,
,
e
Mesmo raciocínio vai valer para
.
Passo 4
Agora aplico isso passo a passo à nossa função.
Defino a função interna
Calculo sua derivada:
Usando
e a regra da potência:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Substituindo
e
:
Posso também escrever de forma expandida no numerador:
Passo 5
Verifico que o ponto
pertence ao gráfico: calculo
.
logo o ponto
está correto.
Agora calculo a inclinação da tangente, que é
. Uso a expressão obtida para
:
Passo 6
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é dada pela forma ponto-inclinação:
onde
. Aqui
,
e
. Substituo:
Agora simplifico para a forma explícita
:
Passo 7
Concluo que a derivada existe e é finita em
, portanto a reta tangente existe e sua equação foi encontrada. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo que você já aprendeu!