QUESTÃO: Determine a função derivada das funções abaixo, e posteriormente, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado.
f(x)=\frac{2}{x^{2}+x}, \quad P=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a função derivada de f, isto é calcular f'(x).
  • Encontrar, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(1,1).
Informações dadas:
  • f(x)=\dfrac{2}{x^{2}+x}.
  • O ponto P é (1,1).
  • Vou verificar também se P realmente pertence ao gráfico de f (ou seja, se f(1)=1).

Passo 2

Primeiro reescrevo f de uma forma que facilita derivar usando regra da cadeia e a regra da potência:
f(x)=2\,(x^{2}+x)^{-1}.
Reescrever assim é útil porque a derivada de uma potência (\text{algo})^{n} é direta com a regra da potência combinada com a regra da cadeia.

Passo 3

Vou explicar as regras que vou usar, de um jeito bem prático.
Regra da potência (para função composta): se u(x) é uma função e n é um número, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=x^{2}+x).
  • n é o expoente (no nosso caso n=-1).
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x.
Exemplo rápido para fixar: se g(x)=(3x+2)^{2}, então u(x)=3x+2, n=2, u'(x)=3 e
g'(x)=2(3x+2)\cdot 3 = 6(3x+2).
Mesmo raciocínio vai valer para n=-1.

Passo 4

Agora aplico isso passo a passo à nossa função.
Defino a função interna
u(x)=x^{2}+x.
Calculo sua derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+x)=2x+1.
Usando f(x)=2\,u(x)^{-1} e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{-1}\bigr)=-1\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x) = -\frac{u'(x)}{u(x)^{2}}.
Multiplicando pelo fator 2 que estava fora:
f'(x)=2\cdot\left(-\frac{u'(x)}{u(x)^{2}}\right) = -2\cdot\frac{u'(x)}{u(x)^{2}}.
Substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=-2\cdot\frac{2x+1}{(x^{2}+x)^{2}}.
Posso também escrever de forma expandida no numerador:
f'(x)=-\frac{4x+2}{(x^{2}+x)^{2}}.

Passo 5

Verifico que o ponto P pertence ao gráfico: calculo f(1).
f(1)=\frac{2}{1^{2}+1}=\frac{2}{2}=1,
logo o ponto P=(1,1) está correto.
Agora calculo a inclinação da tangente, que é f'(1). Uso a expressão obtida para f'(x):
f'(1)=-2\cdot\frac{2\cdot 1 + 1}{(1^{2}+1)^{2}} = -2\cdot\frac{3}{(1+1)^{2}} = -2\cdot\frac{3}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.

Passo 6

A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x_{0},y_{0}) é dada pela forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}),
onde m=f'(x_{0}). Aqui x_{0}=1, y_{0}=1 e m=-\dfrac{3}{2}. Substituo:
y-1=-\frac{3}{2}(x-1).
Agora simplifico para a forma explícita y=\dots:
y-1=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}+1 = -\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.

Passo 7

Concluo que a derivada existe e é finita em x=1, portanto a reta tangente existe e sua equação foi encontrada. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo que você já aprendeu!

Resposta

f'(x)=-2\cdot\frac{2x+1}{(x^{2}+x)^{2}} = -\frac{4x+2}{(x^{2}+x)^{2}}
\text{Reta tangente em }P:\quad y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}

Exercícios relacionados