Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança como a quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em:

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado diz que, originalmente, cada cliente usava uma senha com 4 algarismos.
  • Depois, todos passaram a usar senhas com 5 algarismos.
  • A definição de “nível de segurança” aqui é simplesmente a quantidade possível de senhas distintas.
O que se pede: “a segurança nesse site aumentou em:” — ou seja, quanto aumentou o número de senhas possíveis ao passar de 4 para 5 algarismos.

Passo 2

Conceito que vamos usar (princípio fundamental da contagem):
  • Se uma senha tem n posições e cada posição pode ser preenchida por k opções independentes, então o total de senhas possíveis é k^n.
No nosso caso:
  • Cada algarismo é um dígito decimal, logo tem 10 opções: 0,1,2,\dots,9. Vou assumir que senhas podem começar por 0 (caso típico para “algarismos”).
  • Então, para senhas com n algarismos, o total de possibilidades é 10^n.
Expliquei o que é cada variável:
  • k=10 é o número de opções por posição (dígitos).
  • n é o número de posições (algarismos) da senha.

Passo 3

Calcular o número de senhas possíveis com 4 algarismos.
\text{Possibilidades iniciais} = 10^4 = 10\cdot10\cdot10\cdot10 = 10000.
Então havia 10000 senhas possíveis antes.

Passo 4

Calcular o número de senhas possíveis com 5 algarismos.
\text{Possibilidades finais} = 10^5 = 10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10 = 100000.
Então passaram a existir 100000 senhas possíveis.

Passo 5

Calcular o aumento absoluto no número de senhas (a diferença entre final e inicial).
\text{Aumento absoluto} = 100000 - 10000 = 90000.
Portanto, houve um acréscimo de 90000 senhas possíveis.

Passo 6

Interpretações adicionais úteis (para a prova — escolha a que o enunciado pedir):
  • Fator de aumento (quantas vezes maior ficou):
\frac{100000}{10000}=10,
ou seja, o número de senhas ficou 10 vezes maior.
  • Aumento percentual:
\frac{90000}{10000}\times 100\% = 900\%.
Resumo: aumento absoluto =90000 senhas; isto é um aumento de 900\% e um fator 10.

Resposta

A segurança aumentou em 90000 senhas (ou seja, ficou 10 vezes maior, um aumento de 900\%).

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