Suponha que X tenha uma distribuiçãao uniforme no intervalo ( 0 ; \theta ); onde \theta é desconhecido. Uma amostra de n observações X_{1}, \ldots, X_{n} é escolhida. Sabemos que E(X)=E\left(X_{i}\right)=\theta / 2, para todo i, e \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\theta^{2} / 12; para todo i. Logo, se calcularmos a média amostral \bar{X}; essa deve estar próxima de \theta / 2 e podemos estimar \theta por T_{1}=2 \bar{X} :
a) Calcule E\left(T_{1}\right)
b) Calcule E Q M\left(T_{1}\right)=E\left(T_{1}-\theta\right)^{2}
c) T_{1} é consistente? Por quê?
Passo 1
O enunciado considera X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. com distribuição uniforme em (0,\theta), onde \theta é desconhecido. Sabe‐se que
a) E(T_{1})=\theta.
b) \mathrm{EQM}(T_{1})=\dfrac{\theta^{2}}{3\,n}.
c) Sim, pois \mathrm{EQM}(T_{1})\to0 quando n\to\infty, isto é, a variância tende a zero e o estimador é não‐viesado.