Suponha que X tenha uma distribuiçãao uniforme no intervalo ( 0 ; \theta ); onde \theta é desconhecido. Uma amostra de n observações X_{1}, \ldots, X_{n} é escolhida. Sabemos que E(X)=E\left(X_{i}\right)=\theta / 2, para todo i, e \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\theta^{2} / 12; para todo i. Logo, se calcularmos a média amostral \bar{X}; essa deve estar próxima de \theta / 2 e podemos estimar \theta por T_{1}=2 \bar{X} :
a) Calcule E\left(T_{1}\right)
b) Calcule E Q M\left(T_{1}\right)=E\left(T_{1}-\theta\right)^{2}
c) T_{1} é consistente? Por quê?

Passo 1

O enunciado considera X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. com distribuição uniforme em (0,\theta), onde \theta é desconhecido. Sabe‐se que
E(X_{i})=\frac{\theta}{2},\quad \Var(X_{i})=\frac{\theta^{2}}{12}.
Propõe‐se o estimador
T_{1}=2\,\bar X
com \bar X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_{i}. Vamos calcular (a) E(T_{1}), (b) \mathrm{EQM}(T_{1})=E\bigl(T_{1}-\theta\bigr)^{2} e (c) verificar consistência.

Passo 2

Para E(T_{1}), usamos linearidade:
E(T_{1}) =2\,E(\bar X) =2\;\frac1n\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) =2\;\frac1n\cdot n\;\frac{\theta}{2} =\theta.

Passo 3

O erro quadrático médio é
\mathrm{EQM}(T_{1}) =E\bigl(T_{1}-\theta\bigr)^{2} =\Var(T_{1})+\bigl[E(T_{1})-\theta\bigr]^{2}.
Como E(T_{1})=\theta, o viés é zero e
\mathrm{EQM}(T_{1}) =\Var(T_{1}) =4\,\Var(\bar X) =4\;\frac{\Var(X_{i})}{n} =4\;\frac{\theta^{2}/12}{n} =\frac{\theta^{2}}{3\,n}.

Passo 4

Um estimador é consistente se \mathrm{EQM}(T_{1})\to0 quando n\to\infty. Vemos que
\frac{\theta^{2}}{3\,n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0,
logo T_{1} é consistente.

Resposta

a) E(T_{1})=\theta.
b) \mathrm{EQM}(T_{1})=\dfrac{\theta^{2}}{3\,n}.
c) Sim, pois \mathrm{EQM}(T_{1})\to0 quando n\to\infty, isto é, a variância tende a zero e o estimador é não‐viesado.

Exercícios relacionados