c) Calcular o momento de inércia do triângulo limitado pelas retas , em relação ao eixo OX. Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de um triângulo limitado pelas retas , e em relação ao eixo . Vamos usar conceitos de geometria e cálculo para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como é o triângulo formado por essas retas. As retas e são linhas verticais e horizontais que se encontram no ponto . A reta corta o eixo no ponto e o eixo no ponto . Assim, o triângulo está no primeiro quadrante com vértices em , e .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo. Para figuras planas, a fórmula geral do momento de inércia em relação ao eixo é:
onde é a distância de cada ponto da figura ao eixo , e é um elemento de área.
Passo 4
Para calcular essa integral, precisamos definir os limites de integração. Observando nosso triângulo, varia de 0 a 2. Para cada , varia de até a reta , ou seja, .
Passo 5
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .
Passo 6
Integrando em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa.
Passo 7
Nossa integral agora é:
Vamos expandir para facilitar a integração:
Passo 8
Agora, integraremos termo a termo:
Calculando cada integral:
integral0^2 12x , dx = 6x^2 |0^2 = 24
integral0^2 6x^2 , dx = 2x^3 |0^2 = 16
integral0^2 x^3 , dx = x^44 |0^2 = 4
Passo 9
Substituindo esses valores de volta na expressão de IX:
IX = 13 (16 - 24 + 16 - 4) = 13 (4) = 43
Parece que houve um erro na expectativa da resposta. No entanto, seguindo os passos corretos, o momento de inércia calculado é 43.
Resposta
O momento de inércia do triângulo em relação ao eixo OX é 43.