Determine se a sequência definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite.
, onde
um número real fixo.
Passo 1
O enunciado define a sequência de radicais aninhados
,
,
, e assim por diante, para um
. Vamos usar conceitos de monotonicidade, limite de sequência e fix-points para decidir se ela converge e achar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, mostramos que a sequência
é crescente. Note que cada termo adiciona mais um radical positivo, então intuitivamente
. Formalizando por indução: a base é
. Supondo
, então como a raiz quadrada é crescente temos \n(a_{n+1} = \sqrt{a + a_n} > \sqrt{a + a_{n-1}} = a_n), concluindo o passo indutivo.
Passo 3
Depois, precisamos de um majorante que mostre que
é limitada acima. Se existir
tal que
para todo
e
, então por indução mostra-se que
para todo
. De fato, se
, então
.
Passo 4
Como a sequência é crescente e limitada superiormente, por um teorema de análise ela converge para um limite
. No limite replacemos
por
na relação de recorrência:
Passo 5
Elevando ao quadrado obtemos a equação quadrática:
Passo 6
As raízes dessa equação são
Passo 7
Como todos os
são positivos, o limite também deve ser positivo. A raiz negativa não faz sentido aqui, então escolhemos
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.