Determine se a sequência definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite.
a1=raiza, a2=raiza+raiza, a3=raiza+raiza+raiza, ldots, onde a>0 um número real fixo.

Passo 1

O enunciado define a sequência de radicais aninhados a1 = raiza, a2 = raiza + raiza, a3 = raiza + raiza + raiza, e assim por diante, para um a>0. Vamos usar conceitos de monotonicidade, limite de sequência e fix-points para decidir se ela converge e achar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, mostramos que a sequência (an) é crescente. Note que cada termo adiciona mais um radical positivo, então intuitivamente an+1 = raiza + an > raiza + an-1 = an. Formalizando por indução: a base é a2 = raiza + raiza > raiza = a1. Supondo an > an-1, então como a raiz quadrada é crescente temos \n(a_{n+1} = \sqrt{a + a_n} > \sqrt{a + a_{n-1}} = a_n), concluindo o passo indutivo.

Passo 3

Depois, precisamos de um majorante que mostre que (an) é limitada acima. Se existir L>0 tal que an < L para todo n e L = raiza + L, então por indução mostra-se que an < L para todo n. De fato, se an < L, então an+1 = raiza + an < raiza + L = L.

Passo 4

Como a sequência é crescente e limitada superiormente, por um teorema de análise ela converge para um limite L. No limite replacemos an, an+1 por L na relação de recorrência:
L = raiza + L

Passo 5

Elevando ao quadrado obtemos a equação quadrática:
L^2 = a + L Longrightarrow L^2 - L - a = 0

Passo 6

As raízes dessa equação são
L = 1 pm raiz1 + 4a2

Passo 7

Como todos os an são positivos, o limite também deve ser positivo. A raiz negativa não faz sentido aqui, então escolhemos
L = 1 + raiz1 + 4a2

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1 + raiz1 + 4a2.

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