Para cada uma das seguintes sequências, use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar a convergência da sequência e encontrar seu limite.
(xn) é definida recursivamente de modo que
x1=2 e xn+1=xn2+12 xn para todo n >= 1

Passo 1

Resumo do enunciado: a sequência é dada por x₁ = 2 e para todo n ≥ 1 temos
xn+1 = xn2 + 12,xn
O conteúdo envolve o Teorema da Convergência Monótona: a gente vai mostrar que (x_n) é decrescente e tem uma barreira inferior, daí ela converge. Depois, a gente encontra o limite fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que (x_n) fica sempre acima de 1. Note que para n ≥ 1
xn+1 - 1 = xn2 + 12xn - 1 = xn^2 + 1 - 2xn2xn = (xn - 1)^22xn
Como x₁ = 2 > 1, temos (x₁−1)² > 0 e x₁ > 0, então x₂−1 ≥ 0. Supondo x_n ≥ 1, segue x_{n+1}−1 ≥ 0. Logo, por indução, x_n ≥ 1 para todo n.

Passo 3

Agora mostramos que (x_n) é decrescente. Calcule
xn+1 - xn = l(xn2 + 12xnr) - xn = -xn2 + 12xn = 1 - xn^22xn
Como já vimos que x_n ≥ 1, temos x_n^2 ≥ 1, então 1−x_n^2 ≤ 0 e x_n > 0. Logo x_{n+1} − x_n ≤ 0, ou seja, x_{n+1} ≤ x_n. A sequência é decrescente.

Passo 4

Pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência que é decrescente e está limitada inferiormente converge. Concluímos que (x_n) converge para algum limite L.

Passo 5

Para achar L, fazemos o limite na relação de recorrência. Se x_n → L, então também x_{n+1} → L. De
L = L2 + 12L
vem
2L = L + 1L Longrightarrow L = 1L Longrightarrow L^2 = 1
Como x_n ≥ 1 para todo n, o limite L deve ser o positivo, isto é, L = 1.

Resposta

1

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