Para cada uma das seguintes sequências, use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar a convergência da sequência e encontrar seu limite.
é definida recursivamente de modo que
Passo 1
Resumo do enunciado: a sequência é dada por x₁ = 2 e para todo n ≥ 1 temos
O conteúdo envolve o Teorema da Convergência Monótona: a gente vai mostrar que (x_n) é decrescente e tem uma barreira inferior, daí ela converge. Depois, a gente encontra o limite fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver que (x_n) fica sempre acima de 1. Note que para n ≥ 1
Como x₁ = 2 > 1, temos (x₁−1)² > 0 e x₁ > 0, então x₂−1 ≥ 0. Supondo x_n ≥ 1, segue x_{n+1}−1 ≥ 0. Logo, por indução, x_n ≥ 1 para todo n.
Passo 3
Agora mostramos que (x_n) é decrescente. Calcule
Como já vimos que x_n ≥ 1, temos x_n^2 ≥ 1, então 1−x_n^2 ≤ 0 e x_n > 0. Logo x_{n+1} − x_n ≤ 0, ou seja, x_{n+1} ≤ x_n. A sequência é decrescente.
Passo 4
Pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência que é decrescente e está limitada inferiormente converge. Concluímos que (x_n) converge para algum limite L.
Passo 5
Para achar L, fazemos o limite na relação de recorrência. Se x_n → L, então também x_{n+1} → L. De
vem
Como x_n ≥ 1 para todo n, o limite L deve ser o positivo, isto é, L = 1.
Resposta
1