Se c>1, c \in R, mostre que c^{m} \geq c^{n} para m \geq n, m, n \in N.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: c>1, com c\in\mathbb{R}.
  • Dado: m,n\in\mathbb{N} e m\ge n.
  • Pedido: provar que \,c^{m}\ge c^{n}\,.

Passo 2

Definição e propriedade básica de potências inteiras naturais (lembrete): para c\in\mathbb{R} e k\in\mathbb{N} a potência c^{k} é o produto de k cópias de c. Além disso, para inteiros naturais vale a lei
c^{a+b}=c^{a}\,c^{b}
porque multiplicar a+b vezes é o mesmo que multiplicar a vezes e depois mais b vezes. Essa lei será usada para decompor potências quando um expoente é maior que o outro.

Passo 3

Redução do problema: escrevemos a diferença de expoentes.
Seja \,k=m-n. Como m\ge n, então k é um inteiro não negativo (ou seja, k\in\{0,1,2,\dots\}). Usando a propriedade do passo anterior,
c^{m}=c^{n+k}=c^{n}\,c^{k}.
Logo, para mostrar c^{m}\ge c^{n} basta mostrar que c^{k}\ge 1 para todo inteiro k\ge 0.

Passo 4

Provar que \,c^{k}\ge 1 para todo inteiro k\ge 0 (prova por indução):
  • Base ( k=0): por definição c^{0}=1. Então c^{0}\ge1 (igualdade).
  • Passo indutivo: suponha que para um certo t\ge0 valha c^{t}\ge1. Como c>1, multiplicando ambos os lados da desigualdade por c (positivo) obtemos
c^{t+1}=c\cdot c^{t}\ge c\cdot 1 = c > 1,
ou seja, c^{t+1}\ge1. Assim a propriedade vale para t+1. Pelo princípio da indução matemática, c^{k}\ge1 para todo k\ge0.

Passo 5

Conclusão final usando o que foi mostrado:
Tomando k=m-n\ge0 e usando c^{m}=c^{n}c^{k} com c^{k}\ge1, segue
c^{m}=c^{n}c^{k}\ge c^{n}\cdot 1 = c^{n}.
Portanto c^{m}\ge c^{n} sempre que c>1 e m\ge n.

Passo 6

Pequena verificação numérica para intuição: se c=2, m=5, n=3 então c^{m}=2^{5}=32 e c^{n}=2^{3}=8, e realmente 32\ge 8. Se c=1{,}5, m=4, n=2 então 1{,}5^{4}=5{,}0625 e 1{,}5^{2}=2{,}25, também 5{,}0625\ge2{,}25.

Resposta

Para c>1 e m,n\in\mathbb{N} com m\ge n: \;c^{m}\ge c^{n}.

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