Se
, mostre que
para
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
, com . - Dado:
e . - Pedido: provar que
.
Passo 2
Definição e propriedade básica de potências inteiras naturais (lembrete): para
e
a potência
é o produto de
cópias de
. Além disso, para inteiros naturais vale a lei
porque multiplicar
vezes é o mesmo que multiplicar
vezes e depois mais
vezes. Essa lei será usada para decompor potências quando um expoente é maior que o outro.
Passo 3
Redução do problema: escrevemos a diferença de expoentes.
Seja . Como
, então
é um inteiro não negativo (ou seja,
). Usando a propriedade do passo anterior,
Seja
Logo, para mostrar
basta mostrar que
para todo inteiro
.
Passo 4
Provar que
para todo inteiro
(prova por indução):
- Base (
): por definição . Então (igualdade). - Passo indutivo: suponha que para um certo
valha . Como , multiplicando ambos os lados da desigualdade por (positivo) obtemos
ou seja,
. Assim a propriedade vale para
. Pelo princípio da indução matemática,
para todo
.
Passo 5
Conclusão final usando o que foi mostrado:
Tomando e usando
com
, segue
Tomando
Portanto
sempre que
e
.
Passo 6
Pequena verificação numérica para intuição: se
,
,
então
e
, e realmente
. Se
,
,
então
e
, também
.
Resposta
Para
e
com
:
.