Mostre que, se
para todo
, então
.
Passo 1
O enunciado dá a condição: para todo
vale
A pergunta é mostrar que a desigualdade final
(ou seja, que
não é maior que
) é verdadeira sob essa hipótese.
Passo 2
Reescrevendo a hipótese de forma equivalente por simples manipulação algébrica (somando
em ambos os lados), obtemos, para todo
,
Vou mostrar de forma elementar por que isso força
.
Passo 3
Escolho um método direto e simples: prova por contradição. A ideia é assumir que a conclusão é falsa (ou seja, assumir
) e derivar uma contradição com a hipótese que vale para todo
. Esse método é útil aqui porque a hipótese fala em “para todo
” e podemos escolher um
específico que revele a contradição.
Passo 4
Assuma, para obter contradição, que
Então a diferença
é um número estritamente positivo:
Agora escolha
Note que
por construção, portanto a hipótese deve valer para este
. Calcule
:
Como
, tem-se
. Assim
Passo 5
Mas a hipótese exigia que, para todo
, em particular para o
que escolhemos, valesse
. Obtivemos ao contrário
. Essa é uma contradição lógica: a mesma quantidade não pode ser simultaneamente
e
. Portanto a suposição inicial
é impossível sob a hipótese dada. Logo não pode ser que
; isto implica que
não é maior que
. (Isto é, a desigualdade desejada é verdadeira.)
Como comentário alternativo mais intuitivo: da forma reescrita
para todo
, se fosse
haveria uma folga positiva entre
e
e poderíamos escolher
pequena o bastante para contradizer a desigualdade; o passo anterior formaliza exatamente isso.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para ver a ideia: se
e
então existe
(por exemplo
) tal que
, logo a hipótese "para todo
vale
" falha — isso mostra que somente situações em que
podem satisfazer a hipótese para todos os
.