Mostre que, se a-e \leq b para todo \epsilon>0, então \ddot{a} \leq b.

Passo 1

O enunciado dá a condição: para todo \epsilon>0 vale
a-\epsilon \le b.
A pergunta é mostrar que a desigualdade final \;a\le b\; (ou seja, que a não é maior que b) é verdadeira sob essa hipótese.

Passo 2

Reescrevendo a hipótese de forma equivalente por simples manipulação algébrica (somando \epsilon em ambos os lados), obtemos, para todo \epsilon>0,
a \le b + \epsilon.
Vou mostrar de forma elementar por que isso força a\le b.

Passo 3

Escolho um método direto e simples: prova por contradição. A ideia é assumir que a conclusão é falsa (ou seja, assumir a>b) e derivar uma contradição com a hipótese que vale para todo \epsilon>0. Esse método é útil aqui porque a hipótese fala em “para todo \epsilon>0” e podemos escolher um \epsilon específico que revele a contradição.

Passo 4

Assuma, para obter contradição, que
a>b.
Então a diferença \delta := a-b é um número estritamente positivo:
\delta = a-b > 0.
Agora escolha
\epsilon := \frac{\delta}{2} = \frac{a-b}{2}.
Note que \epsilon>0 por construção, portanto a hipótese deve valer para este \epsilon. Calcule a-\epsilon:
a-\epsilon = a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a-(a-b)}{2} = \frac{a+b}{2} = b + \frac{a-b}{2} = b + \frac{\delta}{2}.
Como \delta>0, tem-se b+\dfrac{\delta}{2}>b. Assim
a-\epsilon = b + \frac{\delta}{2} > b.

Passo 5

Mas a hipótese exigia que, para todo \epsilon>0, em particular para o \epsilon=\dfrac{\delta}{2} que escolhemos, valesse a-\epsilon\le b. Obtivemos ao contrário a-\epsilon>b. Essa é uma contradição lógica: a mesma quantidade não pode ser simultaneamente \le b e >b. Portanto a suposição inicial a>b é impossível sob a hipótese dada. Logo não pode ser que a>b; isto implica que a não é maior que b. (Isto é, a desigualdade desejada é verdadeira.)
Como comentário alternativo mais intuitivo: da forma reescrita a\le b+\epsilon para todo \epsilon>0, se fosse a>b haveria uma folga positiva entre a e b e poderíamos escolher \epsilon pequena o bastante para contradizer a desigualdade; o passo anterior formaliza exatamente isso.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para ver a ideia: se a=2 e b=1 então existe \epsilon>0 (por exemplo \epsilon=0,4) tal que a-\epsilon>1=b, logo a hipótese "para todo \epsilon>0 vale a-\epsilon\le b" falha — isso mostra que somente situações em que a\le b podem satisfazer a hipótese para todos os \epsilon>0.

Resposta

\;a\le b\;

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