Se n \in N. Mostre que n^{2} \geq n e, mostre que 1 / n^{2} \leq 1 / n.

Passo 1

O enunciado dá que n\in\mathbb{N} e pede duas coisas:
  • Mostrar que \;n^{2}\geq n\;.
  • Mostrar que \;1/n^{2}\leq 1/n\;.
Observação importante: como o enunciado usa 1/n, vou assumir que \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, isto é, n\ge 1. Essa hipótese é necessária para que 1/n e 1/n^{2} façam sentido.

Passo 2

Primeiro vamos provar \;n^{2}\geq n\;.
Começamos reescrevendo a diferença n^{2}-n. Temos:
n^{2}-n = n(n-1).
Aqui cada fator tem significado claro: o primeiro fator é n e o segundo fator é n-1.

Passo 3

Agora usamos que n\ge 1. Então n\ge 0 e n-1\ge 0. Produto de dois números não negativos é não negativo, logo
n(n-1)\ge 0.
Portanto, voltando à diferença,
n^{2}-n \ge 0.
Somando n em ambos os lados (ou simplesmente reescrevendo) obtemos
n^{2}\ge n,
que é exatamente a primeira desigualdade pedida.
(Comentário didático rápido: fatorar uma diferença como n^{2}-n em n(n-1) é uma técnica padrão — mostra diretamente o sinal da expressão quando se conhece o sinal dos fatores.)

Passo 4

Agora mostro \;1/n^{2}\le 1/n\;.
Parto da desigualdade já provada \;n^{2}\ge n\;. Como n>0, podemos dividir ambos os lados por n^{2} (divisão por número positivo preserva a direção da desigualdade). Assim:
\frac{n^{2}}{n^{2}} \ge \frac{n}{n^{2}}.
Isto dá
1 \ge \frac{1}{n}.

Passo 5

A partir de 1 \ge 1/n, multiplicamos agora ambos os lados por 1/n (novamente 1/n>0, então a direção da desigualdade não muda). Assim:
\frac{1}{n}\ge \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n^{2}}.
Isto é exatamente
\frac{1}{n^{2}}\le \frac{1}{n},
que é a segunda desigualdade pedida.

Passo 6

Observação alternativa (para fixar a ideia): existe uma propriedade geral para números positivos: se a\ge b>0 então \;1/a \le 1/b\;. Aplicando com a=n^{2} e b=n recupera-se diretamente \;1/n^{2}\le 1/n\;. A justificativa dessa propriedade é a mesma: multiplicar por 1/(ab)>0 preserva a desigualdade e dá 1/b \ge 1/a, i.e. 1/a\le 1/b.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para ganhar intuição:
  • Para n=1: 1^{2}=1\ge 1 e 1/1^{2}=1\le 1/1=1 (igualdades).
  • Para n=2: 2^{2}=4\ge 2 e 1/4\le 1/2.
  • Para n=3: 9\ge 3 e 1/9\le 1/3.
Esses exemplos mostram que as desigualdades fazem sentido numericamente também.

Resposta

n^{2}\ge n
\dfrac{1}{n^{2}}\le \dfrac{1}{n}

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