Se
. Mostre que
e, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e pede duas coisas:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Observação importante: como o enunciado usa
, vou assumir que
, isto é,
. Essa hipótese é necessária para que
e
façam sentido.
Passo 2
Primeiro vamos provar
.
Começamos reescrevendo a diferença
. Temos:
Aqui cada fator tem significado claro: o primeiro fator é
e o segundo fator é
.
Passo 3
Agora usamos que
. Então
e
. Produto de dois números não negativos é não negativo, logo
Portanto, voltando à diferença,
Somando
em ambos os lados (ou simplesmente reescrevendo) obtemos
que é exatamente a primeira desigualdade pedida.
(Comentário didático rápido: fatorar uma diferença como
em
é uma técnica padrão — mostra diretamente o sinal da expressão quando se conhece o sinal dos fatores.)
Passo 4
Agora mostro
.
Parto da desigualdade já provada
. Como
, podemos dividir ambos os lados por
(divisão por número positivo preserva a direção da desigualdade). Assim:
Isto dá
Passo 5
A partir de
, multiplicamos agora ambos os lados por
(novamente
, então a direção da desigualdade não muda). Assim:
Isto é exatamente
que é a segunda desigualdade pedida.
Passo 6
Observação alternativa (para fixar a ideia): existe uma propriedade geral para números positivos: se
então
. Aplicando com
e
recupera-se diretamente
. A justificativa dessa propriedade é a mesma: multiplicar por
preserva a desigualdade e dá
, i.e.
.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para ganhar intuição:
- Para
: e (igualdades). - Para
: e . - Para
: e .
Esses exemplos mostram que as desigualdades fazem sentido numericamente também.