(c) Se \mathbf{F} for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de \operatorname{rot} \mathbf{F} e de div \mathbf{F} ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se \mathbf{F} for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de \operatorname{rot}\mathbf{F} e de \operatorname{div}\mathbf{F}?”\n
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece): \mathbf{F} é um campo de velocidade (ou seja, em cada ponto do fluido temos um vetor velocidade). Não há dados numéricos nem figuras. O que se pede é interpretar fisicamente duas operações vetoriais aplicadas a \mathbf{F}: \operatorname{rot}\mathbf{F} (curl) e \operatorname{div}\mathbf{F} (divergence).

Passo 2

Definição e fórmula prática de \operatorname{div}\mathbf{F}. Seja \mathbf{F}=(u,v,w) onde u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z). A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
O que isso mede fisicamente? Dê atenção a esta ideia: \nabla\cdot\mathbf{F} é a taxa (por unidade de volume) de fluxo que sai de um ponto. Mais formalmente,
\nabla\cdot\mathbf{F}=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
ou seja, é o limite do fluxo líquido por unidade de volume quando a região ao redor do ponto encolhe. Interpretação direta: se \nabla\cdot\mathbf{F}>0 o fluido localmente está se expandindo (há mais saída que entrada → “fonte”); se \nabla\cdot\mathbf{F}<0 há compressão (sink). Para fluidos incompressíveis, \nabla\cdot\mathbf{F}=0 (volume de um elemento fluido não muda).

Passo 3

Uma explicação com física de massas (continuidade) para fixar a intuição. A equação da continuidade (conservação de massa) em forma simplificada é
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\,\nabla\cdot\mathbf{F}=0,
onde \rho é a densidade e \frac{D}{Dt} é a derivada material (taxa de variação acompanhando uma partícula). Se o fluido é incompressível, \rho é constante e então \nabla\cdot\mathbf{F}=0. Assim, interpretar \nabla\cdot\mathbf{F} como “taxa local de variação volumétrica por unidade de volume” está diretamente ligado à conservação de massa.

Passo 4

Definição e fórmula prática de \operatorname{rot}\mathbf{F}. Em coordenadas cartesianas,
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\;\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\;\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right).
Significado físico: \nabla\times\mathbf{F} dá a vorticidade do fluido — um vetor que aponta na direção do eixo de rotação local e cuja magnitude mede a intensidade do giro local. A relação operacional é (com o teorema de Stokes)
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=\lim_{A\to 0}\frac{1}{A}\oint_{\partial A}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
ou seja, a componente da vorticidade ao longo a normal \mathbf{n} é a circulação por unidade de área em torno de um pequeno laço. Em linguagem simples: curl = circulação por área → quantifica quanto o fluido “gira” por volta daquele ponto.

Passo 5

Relação entre vorticidade e velocidade angular do fluido. Se chamarmos vorticidade \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}, então o vetor de velocidade angular média local \boldsymbol{\Omega} do pequeno elemento de fluido é
\boldsymbol{\Omega}=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\mathbf{v}.
Portanto, a vorticidade é duas vezes a velocidade angular local. Isso ajuda a interpretar magnitudes: por exemplo, se \|\nabla\times\mathbf{v}\|=2\alpha e a direção é o eixo z, o elemento de fluido gira com velocidade angular \alpha.

Passo 6

Exemplos simples, com contas passo a passo (úteis para a prova):
  • Exemplo 1 (rotação sólida em 2D). Tome \mathbf{F}=(-\alpha y,\;\alpha x,\;0). Calcule
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (\alpha x)}{\partial x}=\alpha,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial(-\alpha y)}{\partial y}=-\alpha.
Logo a componente z do curl é \partial_x v-\partial_y u=\alpha-(-\alpha)=2\alpha. As outras componentes são zero. Assim
\nabla\times\mathbf{F}=(0,0,2\alpha).
Interpretação: o campo é uma rotação rígida com velocidade angular \alpha (vorticidade 2\alpha). A divergência aqui é zero ( \nabla\cdot\mathbf{F}=0), ou seja, não há expansão/contração — apenas giro.
  • Exemplo 2 (escoamento radial). Tome \mathbf{F}=k(x,y,0). Então
\nabla\cdot\mathbf{F}=\partial_x (kx)+\partial_y (ky)=k+k=2k,
e
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Interpretação: não há rotação local (curl nulo) mas há fonte (se k>0 o fluido diverge/expande).
  • Exemplo 3 (cisalhamento simples). Tome \mathbf{F}=(ky,0,0). Então
\nabla\cdot\mathbf{F}=0,\qquad \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,-k).
Interpretação: camadas deslizam umas sobre as outras (shear) produzindo vorticidade, embora não haja expansão.

Passo 7

Dicas práticas para prova (passo a passo de como responder numa questão):
  1. Escreva \mathbf{F}=(u,v,w).
  2. Calcule \nabla\cdot\mathbf{F}=\partial_x u+\partial_y v+\partial_z w. Interprete sinal: positivo → fonte/expansão; negativo → sumidouro/contração; zero → incompressível (volume preservado).
  3. Calcule \nabla\times\mathbf{F} pelas componentes (usar a fórmula do Passo 4). Interprete direção (eixo de giro) e magnitude (circulação por área). Lembre que vorticidade alta → regiões vortexais.
  4. Se pedirem ligação com massa, cite a equação da continuidade do Passo 3.
  5. Para um elemento de prova rápido: verifique se \nabla\cdot\mathbf{F}=0 e se \nabla\times\mathbf{F}\neq 0 — então é um fluxo incompressível com rotação (vórtice); se \nabla\cdot\mathbf{F}\neq 0 e \nabla\times\mathbf{F}=0 — fonte/sumidouro sem giro.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido. Em uma frase prática: div mede quanto o fluido “sai” ou “entra” em torno de um ponto (expansão/compresão), e rot mede quanto o fluido “gira” em torno de um eixo local (vorticidade). Você já tem as fórmulas e exemplos para aplicar direto na prova — confia que dá pra resolver esses cálculos rápido depois de treinar um ou dois exemplos como os acima!

Resposta

\operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F} é a vorticidade: um vetor cuja direção é o eixo local de rotação e cuja magnitude mede a circulação por unidade de área (quantifica o giro local do fluido).
\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F} é a taxa de expansão volumétrica por unidade de volume: mede se o fluido localmente está se expandindo (fonte, \nabla\cdot\mathbf{F}>0), comprimindo (sumidouro, \nabla\cdot\mathbf{F}<0) ou preservando volume (incompressível, \nabla\cdot\mathbf{F}=0).

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