(c) Se
for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de
e de div
?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se
for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de
e de
?”\n
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece): é um campo de velocidade (ou seja, em cada ponto do fluido temos um vetor velocidade). Não há dados numéricos nem figuras. O que se pede é interpretar fisicamente duas operações vetoriais aplicadas a
:
(curl) e
(divergence).
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
Passo 2
Definição e fórmula prática de
. Seja
onde
,
,
. A divergência é
O que isso mede fisicamente? Dê atenção a esta ideia:
é a taxa (por unidade de volume) de fluxo que sai de um ponto. Mais formalmente,
ou seja, é o limite do fluxo líquido por unidade de volume quando a região ao redor do ponto encolhe. Interpretação direta: se
o fluido localmente está se expandindo (há mais saída que entrada → “fonte”); se
há compressão (sink). Para fluidos incompressíveis,
(volume de um elemento fluido não muda).
Passo 3
Uma explicação com física de massas (continuidade) para fixar a intuição. A equação da continuidade (conservação de massa) em forma simplificada é
onde
é a densidade e
é a derivada material (taxa de variação acompanhando uma partícula). Se o fluido é incompressível,
é constante e então
. Assim, interpretar
como “taxa local de variação volumétrica por unidade de volume” está diretamente ligado à conservação de massa.
Passo 4
Definição e fórmula prática de
. Em coordenadas cartesianas,
Significado físico:
dá a vorticidade do fluido — um vetor que aponta na direção do eixo de rotação local e cuja magnitude mede a intensidade do giro local. A relação operacional é (com o teorema de Stokes)
ou seja, a componente da vorticidade ao longo a normal
é a circulação por unidade de área em torno de um pequeno laço. Em linguagem simples: curl = circulação por área → quantifica quanto o fluido “gira” por volta daquele ponto.
Passo 5
Relação entre vorticidade e velocidade angular do fluido. Se chamarmos vorticidade
, então o vetor de velocidade angular média local
do pequeno elemento de fluido é
Portanto, a vorticidade é duas vezes a velocidade angular local. Isso ajuda a interpretar magnitudes: por exemplo, se
e a direção é o eixo
, o elemento de fluido gira com velocidade angular
.
Passo 6
Exemplos simples, com contas passo a passo (úteis para a prova):
- Exemplo 1 (rotação sólida em 2D). Tome
. Calcule
Logo a componente
do curl é
. As outras componentes são zero. Assim
Interpretação: o campo é uma rotação rígida com velocidade angular
(vorticidade
). A divergência aqui é zero (
), ou seja, não há expansão/contração — apenas giro.
- Exemplo 2 (escoamento radial). Tome
. Então
e
Interpretação: não há rotação local (curl nulo) mas há fonte (se
o fluido diverge/expande).
- Exemplo 3 (cisalhamento simples). Tome
. Então
Interpretação: camadas deslizam umas sobre as outras (shear) produzindo vorticidade, embora não haja expansão.
Passo 7
Dicas práticas para prova (passo a passo de como responder numa questão):
- Escreva
. - Calcule
. Interprete sinal: positivo → fonte/expansão; negativo → sumidouro/contração; zero → incompressível (volume preservado). - Calcule
pelas componentes (usar a fórmula do Passo 4). Interprete direção (eixo de giro) e magnitude (circulação por área). Lembre que vorticidade alta → regiões vortexais. - Se pedirem ligação com massa, cite a equação da continuidade do Passo 3.
- Para um elemento de prova rápido: verifique se
e se — então é um fluxo incompressível com rotação (vórtice); se e — fonte/sumidouro sem giro.
Passo 8
Resumo final e incentivo rápido. Em uma frase prática: div mede quanto o fluido “sai” ou “entra” em torno de um ponto (expansão/compresão), e rot mede quanto o fluido “gira” em torno de um eixo local (vorticidade). Você já tem as fórmulas e exemplos para aplicar direto na prova — confia que dá pra resolver esses cálculos rápido depois de treinar um ou dois exemplos como os acima!