- Escreva expressões para a área delimitada pela curva
em termos da integral de linha em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede: "Escreva expressões para a área delimitada pela curva
em termos da integral de linha em torno de
". Informações e hipóteses relevantes que vamos usar (assuma que o enunciado admite essas hipóteses usuais):
-
é uma curva fechada e suave que delimita uma região plana
.
- A orientação padrão que usaremos é a orientação positiva (contrária ao sentido horário, isto é, sentido anti-horário). Se a orientação for a oposta, os sinais das fórmulas mudam.
- Queremos escrever a área de
, que é
, como uma integral de linha ao longo de
.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar (aqui eu explico passo a passo o que é e por que vale): considere duas funções
e
que têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de
. A versão do teorema que usamos diz:
Explicando cada símbolo:
-
é a integral de linha ao longo da curva fechada
com orientação positiva.
-
e
são funções escalares;
e
são os diferenciais nas coordenadas.
-
significa o elemento de área (equivalente a
).
Intuição curta: a integral de linha da combinação mede, via o teorema, a integral dupla da diferença das derivadas parciais
sobre a região.
Intuição curta: a integral de linha da combinação
Passo 3
Queremos a área de
, que é
Pelo teorema do passo anterior, se conseguimos escolher
tais que
então teremos
ou seja, a área pode ser escrita como uma integral de linha. Agora vamos escolher
e
concretos e simples.
Passo 4
Escolha simples 1: tome
e
. Então
logo
. Assim obtemos a expressão
Explanação: isso significa que, para computar a área, basta integrar
ao longo de toda a curva
orientada positivamente.
Passo 5
Escolha simples 2: tome
e
. Então
logo
. Assim obtemos outra forma:
Comentário: ambas as formas do passo 4 e deste passo são corretas e equivalentes (com orientação positiva).
Passo 6
Forma simétrica muito usada: escolha
e
. Então
portanto
. Substituindo na igualdade do teorema, obtemos a fórmula clássica:
Esta é a expressão mais usada em muitos exercícios e aplicações porque é simétrica e bonita.
Passo 7
Observação sobre orientação: todas as fórmulas acima assumem que
é percorrida no sentido positivo (anti-horário). Se
for percorrida no sentido horário, o valor da integral de linha tem sinal trocado e, portanto, deve-se tomar o valor absoluto ou inverter o sinal para obter a área positiva.
Passo 8
Exemplo de verificação (ajuda didática): seja
a circunferência de raio
centrada na origem, parametrizada por
Calcule a área usando
. Temos
e
. Então
Integrando,
que é a área conhecida do círculo — confirmação de que as fórmulas funcionam.
Resposta
Mais geralmente, para quaisquer