1. Escreva expressões para a área delimitada pela curva C em termos da integral de linha em torno de C.

Passo 1

O enunciado pede: "Escreva expressões para a área delimitada pela curva C em termos da integral de linha em torno de C". Informações e hipóteses relevantes que vamos usar (assuma que o enunciado admite essas hipóteses usuais):
\,\, - C é uma curva fechada e suave que delimita uma região plana D.
\,\, - A orientação padrão que usaremos é a orientação positiva (contrária ao sentido horário, isto é, sentido anti-horário). Se a orientação for a oposta, os sinais das fórmulas mudam.
\,\, - Queremos escrever a área de D, que é \iint_{D} 1\,dA, como uma integral de linha ao longo de C.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar (aqui eu explico passo a passo o que é e por que vale): considere duas funções P(x,y) e Q(x,y) que têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de D. A versão do teorema que usamos diz:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Explicando cada símbolo:
\,\, - \oint_{C} é a integral de linha ao longo da curva fechada C com orientação positiva.
\,\, - P(x,y) e Q(x,y) são funções escalares; dx e dy são os diferenciais nas coordenadas.
\,\, - dA significa o elemento de área (equivalente a dx\,dy).
Intuição curta: a integral de linha da combinação P\,dx+Q\,dy mede, via o teorema, a integral dupla da diferença das derivadas parciais \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y sobre a região.

Passo 3

Queremos a área de D, que é
\iint_{D} 1\,dA.
Pelo teorema do passo anterior, se conseguimos escolher P,Q tais que
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1,
então teremos
\iint_{D} 1\,dA = \oint_{C} P\,dx + Q\,dy,
ou seja, a área pode ser escrita como uma integral de linha. Agora vamos escolher P e Q concretos e simples.

Passo 4

Escolha simples 1: tome P(x,y)=0 e Q(x,y)=x. Então
\frac{\partial Q}{\partial x} = 1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0,
logo \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1. Assim obtemos a expressão
\text{Área}(D)=\oint_{C} x\,dy.Á
Explanação: isso significa que, para computar a área, basta integrar x\,dy ao longo de toda a curva C orientada positivamente.

Passo 5

Escolha simples 2: tome P(x,y)=-y e Q(x,y)=0. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1,
logo \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1. Assim obtemos outra forma:
\text{Área}(D)=\oint_{C} -y\,dx = -\oint_{C} y\,dx.Á
Comentário: ambas as formas do passo 4 e deste passo são corretas e equivalentes (com orientação positiva).

Passo 6

Forma simétrica muito usada: escolha P(x,y)=-\dfrac{y}{2} e Q(x,y)=\dfrac{x}{2}. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{1}{2},
portanto \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1. Substituindo na igualdade do teorema, obtemos a fórmula clássica:
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).Á
Esta é a expressão mais usada em muitos exercícios e aplicações porque é simétrica e bonita.

Passo 7

Observação sobre orientação: todas as fórmulas acima assumem que C é percorrida no sentido positivo (anti-horário). Se C for percorrida no sentido horário, o valor da integral de linha tem sinal trocado e, portanto, deve-se tomar o valor absoluto ou inverter o sinal para obter a área positiva.

Passo 8

Exemplo de verificação (ajuda didática): seja C a circunferência de raio R centrada na origem, parametrizada por
x(t)=R\cos t,\qquad y(t)=R\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Calcule a área usando \dfrac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy-y\,dx). Temos dx=-R\sin t\,dt e dy=R\cos t\,dt. Então
x\,dy - y\,dx = R\cos t\cdot R\cos t\,dt - R\sin t\cdot(-R\sin t\,dt) = R^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\,dt = R^{2}\,dt.
Integrando,
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} R^{2}\,dt = \frac{1}{2} R^{2}\cdot 2\pi = \pi R^{2},Á
que é a área conhecida do círculo — confirmação de que as fórmulas funcionam.

Resposta

\displaystyle \text{Área}(D)=\oint_{C} x\,dy.Á
\displaystyle \text{Área}(D)=-\oint_{C} y\,dx.Á
\displaystyle \text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).Á
Mais geralmente, para quaisquer P,Q com \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1, vale \displaystyle \text{Área}(D)=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.Á

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