Suponha que \mathbf{F} seja um campo vetorial sobre \mathbb{R}^{3}.
(a) Defina rot \mathbf{F}.
(b) Defina div \mathbf{F}.
Passo 1
O enunciado dá que \mathbf{F} é um campo vetorial sobre \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas separadas:
(a) definir \operatorname{rot}\mathbf{F};
(b) definir \operatorname{div}\mathbf{F}.
As únicas informações necessárias são que \mathbf{F} tem três componentes que dependem de (x,y,z). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a forma geral do campo vetorial. Seja
Aqui \,F_{1},F_{2},F_{3}\, são funções reais de três variáveis. Sempre que eu escrever \partial_x quero dizer \dfrac{\partial}{\partial x}, derivada parcial em relação a x; idem para \partial_y e \partial_z.
Passo 3
Definição e cálculo prático de \operatorname{rot}\mathbf{F} (curl).
A definição mais usada em cálculo vetorial é
A primeira componente é \partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2}: é a diferença entre a variação de F_{3} ao longo de y e a variação de F_{2} ao longo de z.
A segunda componente é \partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3}.
A terceira componente é \partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}.
Dica prática para prova: escreva \nabla\times\mathbf{F} como um “determinante simbólico”
e calcule as componentes como se fosse um produto vetorial (lembrando que derivadas parciais atuam sobre as F_i). Não é um determinante numérico, mas é uma maneira mnemônica eficaz.
Exemplo concreto (para fixar): se \mathbf{F}=(-y,\;x,\;0) então
Interpretação geométrica curta: \operatorname{rot}\mathbf{F} mede a tendência de rotação local do campo; sua direção é o eixo de rotação e seu módulo está ligado à circulação por unidade de área.
Passo 4
Definição e cálculo prático de \operatorname{div}\mathbf{F} (divergência).
A divergência é um operador escalar dado por
Aqui somamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente. Explicando:
\partial_{x}F_{1} mede como F_{1} varia na direção x;
\partial_{y}F_{2} mede como F_{2} varia na direção y;
\partial_{z}F_{3} mede como F_{3} varia na direção z.
Dica prática para prova: pegue cada componente F_i e derive em relação à sua variável x,y,z correspondente e some tudo. Exemplo: se \mathbf{F}=(x,y,z) então
Interpretação física curta: \operatorname{div}\mathbf{F} mede a taxa de “saída líquida” por unidade de volume — se positiva há fonte local, se negativa há sumidouro.
Passo 5
Propriedades úteis (úteis na prova):
Para qualquer campo suficientemente suave \mathbf{F},