Suponha que \mathbf{F} seja um campo vetorial sobre \mathbb{R}^{3}.
(a) Defina rot \mathbf{F}.
(b) Defina div \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado dá que \mathbf{F} é um campo vetorial sobre \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas separadas:
(a) definir \operatorname{rot}\mathbf{F};
(b) definir \operatorname{div}\mathbf{F}.
As únicas informações necessárias são que \mathbf{F} tem três componentes que dependem de (x,y,z). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a forma geral do campo vetorial. Seja
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(F_{1}(x,y,z),\,F_{2}(x,y,z),\,F_{3}(x,y,z)\bigr).
Aqui \,F_{1},F_{2},F_{3}\, são funções reais de três variáveis. Sempre que eu escrever \partial_x quero dizer \dfrac{\partial}{\partial x}, derivada parcial em relação a x; idem para \partial_y e \partial_z.

Passo 3

Definição e cálculo prático de \operatorname{rot}\mathbf{F} (curl).
A definição mais usada em cálculo vetorial é
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F},
onde \nabla (o operador “del”) é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z) e \times é o produto vetorial. Em componentes isso fica explicitado como
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(\partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2},\;\partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3},\;\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}\right).
Explicando termo a termo:
  • A primeira componente é \partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2}: é a diferença entre a variação de F_{3} ao longo de y e a variação de F_{2} ao longo de z.
  • A segunda componente é \partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3}.
  • A terceira componente é \partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}.
Dica prática para prova: escreva \nabla\times\mathbf{F} como um “determinante simbólico”
\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}
e calcule as componentes como se fosse um produto vetorial (lembrando que derivadas parciais atuam sobre as F_i). Não é um determinante numérico, mas é uma maneira mnemônica eficaz.
Exemplo concreto (para fixar): se \mathbf{F}=(-y,\;x,\;0) então
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(\partial_{y}0-\partial_{z}x,\;\partial_{z}(-y)-\partial_{x}0,\;\partial_{x}x-\partial_{y}(-y)\right)=(0,0,2).
Interpretação geométrica curta: \operatorname{rot}\mathbf{F} mede a tendência de rotação local do campo; sua direção é o eixo de rotação e seu módulo está ligado à circulação por unidade de área.

Passo 4

Definição e cálculo prático de \operatorname{div}\mathbf{F} (divergência).
A divergência é um operador escalar dado por
\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\partial_{x}F_{1}+\partial_{y}F_{2}+\partial_{z}F_{3}.
Aqui somamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente. Explicando:
  • \partial_{x}F_{1} mede como F_{1} varia na direção x;
  • \partial_{y}F_{2} mede como F_{2} varia na direção y;
  • \partial_{z}F_{3} mede como F_{3} varia na direção z.
Dica prática para prova: pegue cada componente F_i e derive em relação à sua variável x,y,z correspondente e some tudo. Exemplo: se \mathbf{F}=(x,y,z) então
\operatorname{div}\mathbf{F}=\partial_x x+\partial_y y+\partial_z z=1+1+1=3.
Interpretação física curta: \operatorname{div}\mathbf{F} mede a taxa de “saída líquida” por unidade de volume — se positiva há fonte local, se negativa há sumidouro.

Passo 5

Propriedades úteis (úteis na prova):
  • Para qualquer campo suficientemente suave \mathbf{F},
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.
Isto pode ser verificado calculando componentes (as derivadas cruzadas se cancelam) e é útil para testar respostas.
  • Em coordenadas, use sempre a notação de componentes para evitar erros de sinal.
  • Se precisar lembrar rápido: “curl” dá um vetor com diferenças de derivadas cruzadas; “div” dá um escalar com soma de derivadas diretas.

Resposta

(a) \operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\left(\partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2},\;\partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3},\;\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}\right)\n
(b) \operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\partial_{x}F_{1}+\partial_{y}F_{2}+\partial_{z}F_{3}

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