(c) (2,-7 pi / 6)
5-6 The Cartesian coordinates of a point are given.
(i) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r>0 and 0 <= theta<2 pi.
(ii) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r<0 and 0 <= theta<2 pi.

Passo 1

Temos o ponto dado em coordenadas cartesianas como
(x,y)=l(2,,-tfrac7pi6r)
O conteúdo é conversão de coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (r,theta). As fórmulas básicas são
r = raizx^2 + y^2, theta = atan2(y,x),
onde atan2 leva em conta o quadrante de (x,y). Depois ajustamos theta para 0<=theta<2pi.

Passo 2

Calcular primeiro o módulo r:
r = raiz2^2 + l(-tfrac7pi6r)^2 = raiz4 + 49pi^236 = raiz144 + 49pi^26

Passo 3

Precisamos agora do argumento principal
theta0 = arctan!l(tfracyxr) = arctan!l(-tfrac7pi12r)
Observe que x=2>0 e y=-7pi/6<0, ou seja ponto no quarto quadrante. A função arctan simples dá um ângulo negativo theta0in(-tfracpi2,0). Para ter theta em [0,2pi) somamos 2pi:
theta = theta0 + 2pi = arctan!l(-tfrac7pi12r) + 2pi = 2pi - arctan!l(tfrac7pi12r)

Passo 4

Portanto, para r>0 e 0<=theta<2pi temos
r = raiz144 + 49pi^26, theta = 2pi - arctan!l(7pi12r)

Passo 5

Para obter uma solução com r<0 mantemos theta dentro de [0,2pi) usando a relação
(r,theta) longmapsto (-r,;theta+pi)pmod2pi
Assim,
r' = -raiz144 + 49pi^26, theta' = l(2pi - arctan(tfrac7pi12)r) + pi = 3pi - arctan!l(tfrac7pi12r)
Como 3pi - arctan(tfrac7pi12)>=2pi, subtraímos 2pi para ficar em [0,2pi):
theta' = l(3pi - arctan(tfrac7pi12)r) - 2pi = pi - arctan!l(tfrac7pi12r)

Resposta

(i) Para r>0 e 0<=theta<2pi:
r = raiz144 + 49pi^26, theta = 2pi - arctan!l(7pi12r)
(ii) Para r<0 e 0<=theta<2pi:
r = -raiz144 + 49pi^26, theta = pi - arctan!l(7pi12r)

Exercícios relacionados