Encontre os números críticos da função
f(x) = x^(2/3) * (x^2 - 2*x - 6).

Passo 1

Então, temos a função . Nosso objetivo aqui é encontrar os números críticos dessa função. Números críticos são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Como é o produto de duas funções, e , vamos usar a regra do produto, que diz:

Passo 3

Vamos encontrar . Sabemos que . Usando a regra do poder para derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Temos . Derivando termo a termo:

Passo 5

Substituindo , , e na regra do produto:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Para encontrar os números críticos, precisamos resolver e identificar onde não existe. Igualando a derivada a zero:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 9

Além disso, devemos verificar onde a derivada não existe. Observando a expressão original da derivada, vimos que há um termo no denominador. Isso significa que não existe quando .

Resposta

Os números críticos da função são , e .

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