Encontre os números críticos da função
.
Passo 1
Então, temos a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar os números críticos dessa função. Números críticos são os valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Como
é o produto de duas funções,
e
, vamos usar a regra do produto, que diz:
Passo 3
Vamos encontrar
. Sabemos que
. Usando a regra do poder para derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Temos
. Derivando termo a termo:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na regra do produto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Para encontrar os números críticos, precisamos resolver
e identificar onde
não existe. Igualando a derivada a zero:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 9
Além disso, devemos verificar onde a derivada
não existe. Observando a expressão original da derivada, vimos que há um termo
no denominador. Isso significa que
não existe quando
.
Resposta
Os números críticos da função são
,
e
.