c) Tomemos agora uma outra função
. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que normalizar a função de onda
. Normalizar, nesse contexto, significa encontrar o valor de
que faz com que a integral da função de onda ao quadrado seja igual a 1. Ou seja, vamos garantir que toda a “probabilidade” esteja distribuída corretamente. Para isso, vamos usar o conceito de normalização de funções na Mecânica Quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição de normalização. Queremos que a integral de
de
a
seja igual a 1. Então temos:
Substituindo
pela expressão dada:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Seja
, então
e
. Quando
,
e quando
,
. Substituindo na integral:
A integral
é conhecida e vale
. Portanto:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na condição de normalização:
Resolvendo para
:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Simplificando
:
Então, finalmente: