(a) Calcule
;
(b) Determine um par de funções
e
que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1).
(b) Determine um par de funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações:
Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular as derivadas
e
.
b) Encontrar funções
e
que satisfazem esse sistema.
Para isso, vamos usar cálculo diferencial e resolver o sistema de equações de forma implícita.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): calcular
e
.
Primeiro, temos que y e z são funções de x, ou seja,
e
. Isso significa que quando derivarmos as equações em relação a x, teremos que usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar a primeira equação em relação a x:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada da primeira equação fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda equação em relação a x:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim, a derivada da segunda equação fica:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas, que são
e
:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 6
Primeiro, vamos simplificar as equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Passo 7
Agora, somamos as equações (1’) e (2’):
Passo 8
Com o valor de
, vamos substituir na equação (2’) para encontrar
:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b): determinar funções
e
que satisfazem o sistema.
Vamos resolver o sistema de equações originais em termos de x.
Passo 10
Das equações originais:
Vamos resolver essa sistema para y e z em função de x.
Passo 11
Vamos somar as duas equações para eliminar z:
Passo 12
Da equação (3):
Então, temos
.
Passo 13
Agora, vamos substituir
na segunda equação original para encontrar z:
Então, temos
.
Resposta
a)
e
;
b) As funções são
e
.