c 2 x+y-z=3 x+y+z=1
(a) Calcule d yd x e d zd x;
(b) Determine um par de funções y=y(x) e z=z(x) que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações:
c 2x + y - z = 3 x + y + z = 1
Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular as derivadas dydx e dzdx.
b) Encontrar funções y = y(x) e z = z(x) que satisfazem esse sistema.
Para isso, vamos usar cálculo diferencial e resolver o sistema de equações de forma implícita.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): calcular dydx e dzdx.
Primeiro, temos que y e z são funções de x, ou seja, y = y(x) e z = z(x). Isso significa que quando derivarmos as equações em relação a x, teremos que usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar a primeira equação em relação a x:
2x + y - z = 3
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 2x em relação a x é 2.
  • A derivada de y em relação a x é dydx.
  • A derivada de -z em relação a x é -dzdx.
  • A derivada de 3 em relação a x é 0.
Então, a derivada da primeira equação fica:
2 + dydx - dzdx = 0 (1)

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda equação em relação a x:
x + y + z = 1
Derivando termo a termo:
  • A derivada de x em relação a x é 1.
  • A derivada de y em relação a x é dydx.
  • A derivada de z em relação a x é dzdx.
  • A derivada de 1 em relação a x é 0.
Assim, a derivada da segunda equação fica:
1 + dydx + dzdx = 0 (2)

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas, que são dydx e dzdx:
c 2 + dydx - dzdx = 0 1 + dydx + dzdx = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar as equações:
Da equação (1):
dydx - dzdx = -2 (1')
Da equação (2):
dydx + dzdx = -1 (2')

Passo 7

Agora, somamos as equações (1’) e (2’):
(dydx - dzdx) + (dydx + dzdx) = -2 + (-1) 2dydx = -3 dydx = -32

Passo 8

Com o valor de dydx, vamos substituir na equação (2’) para encontrar dzdx:
-32 + dzdx = -1 dzdx = -1 + 32 dzdx = 12

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): determinar funções y = y(x) e z = z(x) que satisfazem o sistema.
Vamos resolver o sistema de equações originais em termos de x.

Passo 10

Das equações originais:
  1. 2x + y - z = 3
  2. x + y + z = 1
Vamos resolver essa sistema para y e z em função de x.

Passo 11

Vamos somar as duas equações para eliminar z:
(2x + y - z) + (x + y + z) = 3 + 1 3x + 2y = 4 (3)

Passo 12

Da equação (3):
3x + 2y = 4 2y = 4 - 3x y = 2 - 32x
Então, temos y(x) = 2 - 32x.

Passo 13

Agora, vamos substituir y(x) na segunda equação original para encontrar z:
x + (2 - 32x) + z = 1 x + 2 - 32x + z = 1 -12x + 2 + z = 1 z = -2 + 1 + 12x z = -1 + 12x
Então, temos z(x) = -1 + 12x.

Resposta

a) dydx = -32 e dzdx = 12;
b) As funções são y(x) = 2 - 32x e z(x) = -1 + 12x.

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