(a) Com argumentos geométricos, obtenha a solução da equação acima;
(b) Suponha
diferenciável; prove que se
satisfaz a equação acima, então existe
diferenciável tal que
.
(b) Suponha
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
usando argumentos geométricos (parte (a)) e depois mostrar que toda solução diferenciável tem a forma
para alguma função
diferenciável (parte (b)). Vamos usar conceitos de derivada direcional e curvas características.
Passo 2
A equação diz que a derivada direcional de
na direção do vetor
é zero. Em outras palavras, se traçarmos uma reta cujo vetor tangente é
, então
não muda ao longo dessa reta. Geometricamente, isso implica que
é constante sobre cada uma dessas retas.
Para encontrar equações dessas retas (curvas características), escrevemos
Integrando, obtemos
ou seja
onde
é uma constante ao longo de cada reta. Como
é constante em cada característica, concluímos que
para alguma função
, que é exatamente o formato geral de todas as soluções.
Passo 3
Para provar parte (b), definimos explicitamente uma
diferenciável. Seja
Como
é diferenciável e a aplicação
é linear, segue que
é diferenciável. Para qualquer
, tomando
, temos
Mas por constância ao longo das características, essa quantidade coincide com
. Assim
e
é diferenciável, como queríamos.
Passo 4
Reunindo tudo, as soluções gerais são as funções que dependem apenas da combinação
, provando tanto a forma geral (parte (a)) quanto a existência de
diferenciável (parte (b)).
Resposta
f(x,y)=\phi(2y-x), com
diferenciável.