2 partial fpartial x+partial fpartial y=0
(a) Com argumentos geométricos, obtenha a solução da equação acima;
(b) Suponha f: R^2 R diferenciável; prove que se f satisfaz a equação acima, então existe phi: R R diferenciável tal que f(x, y)=phi(2 y-x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
2partial fpartial x+partial fpartial y=0
usando argumentos geométricos (parte (a)) e depois mostrar que toda solução diferenciável tem a forma f(x,y)=phi(2y-x) para alguma função phi diferenciável (parte (b)). Vamos usar conceitos de derivada direcional e curvas características.

Passo 2

A equação diz que a derivada direcional de f na direção do vetor (2,1) é zero. Em outras palavras, se traçarmos uma reta cujo vetor tangente é (2,1), então f não muda ao longo dessa reta. Geometricamente, isso implica que f é constante sobre cada uma dessas retas.
Para encontrar equações dessas retas (curvas características), escrevemos
dydx=12
Integrando, obtemos
y=x2+C',
ou seja
2y-x=C,
onde C é uma constante ao longo de cada reta. Como f é constante em cada característica, concluímos que
f(x,y)=phi(2y-x)
para alguma função phi, que é exatamente o formato geral de todas as soluções.

Passo 3

Para provar parte (b), definimos explicitamente uma phi diferenciável. Seja
phi(u)=fl(0,tfracu2r)
Como f é diferenciável e a aplicação umapsto(0,u/2) é linear, segue que phi é diferenciável. Para qualquer (x,y), tomando u=2y-x, temos
phi(2y-x)=fl(0,y-tfracx2r)
Mas por constância ao longo das características, essa quantidade coincide com f(x,y). Assim
f(x,y)=phi(2y-x)
e phi é diferenciável, como queríamos.

Passo 4

Reunindo tudo, as soluções gerais são as funções que dependem apenas da combinação 2y-x, provando tanto a forma geral (parte (a)) quanto a existência de phi diferenciável (parte (b)).

Resposta

f(x,y)=\phi(2y-x), com phi diferenciável.

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