l F(x, y, z)=0 G(x, y, z)=0,
onde F e G são supostas diferenciáveis num aberto de R^3. Expresse d yd x, d zd x em termos das derivadas parciais de F e de G.

Passo 1

Aqui a gente tem um sistema de duas equações implícitas em três variáveis: F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0. O objetivo é achar dydx e dzdx em termos das derivadas parciais de F e G. Para isso, vamos usar derivaçao implícita e o teorema de funções implícitas, que nos permite tratar y e z como funções de x.

Passo 2

Derivando implicitamente cada equação em relação a x, e lembrando que y e z dependem de x, temos:
Fx + Fy dydx + Fz dzdx = 0
Gx + Gy dydx + Gz dzdx = 0 Essas duas equações formam um sistema linear em dydx e dzdx:
Fy dydx + Fz dzdx = -Fx,
Gy dydx + Gz dzdx = -Gx
O determinante principal é D = Fy Gz - Fz Gy.

Passo 3

Aplicando a regra de Cramer ao sistema acima, obtemos as fórmulas para as derivadas:

Resposta

dydx = Gx Fz - Fx GzFy Gz - Fz Gy, dzdx = Fx Gy - Gx FyFy Gz - Fz Gy

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