pode ser fatorada como
A) (x-3)^{2}
B) (x-4)^{2}
C) (x-5)^{2}
D) (x-3)(x+4)
E) (x-5)(x+5)
Passo 1
O enunciado dá a expressão
(x-3)(x+3)-16
e pede para ver qual das alternativas abaixo representa a fatoração correta:
A) (x-3)^{2}
B) (x-4)^{2}
C) (x-5)^{2}
D) (x-3)(x+4)
E) (x-5)(x+5)
O que precisamos fazer: simplificar e fatorar a expressão dada e, a partir disso, identificar qual alternativa coincide com a fatoração correta.
Passo 2
Primeiro, vou expandir o produto (x-3)(x+3). Uso a regra de multiplicar dois binômios conjugados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Tomando a=x e b=3 obtemos
(x-3)(x+3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9.
Agora substituo na expressão original:
(x-3)(x+3)-16=(x^{2}-9)-16.
Passo 3
Simplifico a subtração dos termos constantes:
(x^{2}-9)-16=x^{2}-(9+16)=x^{2}-25.
Passo 4
Reconheço que \;x^{2}-25\; é uma diferença de quadrados, pois 25=5^{2}. Uso a identidade geral
A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B),
com A=x e B=5. Assim
x^{2}-25=(x-5)(x+5).
Portanto a fatoração da expressão dada é (x-5)(x+5).
Passo 5
Verificação rápida e dica para a prova: se quiser checar sem expandir tudo, avalie a expressão em um valor simples, por exemplo x=0:
(x-3)(x+3)-16\big|_{x=0}=(-3)(3)-16=-9-16=-25,
e (x-5)(x+5)\big|_{x=0}=(-5)(5)=-25, consistente. Em provas, reconhecer padrões como (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} ou notar que os termos constantes somam para um quadrado pode poupar tempo.