(C5663) Uma praça central em um centro Cultural, que no projeto real terá o formato de um retângulo com 24 metros de largura por 36 metros de comprimento, foi representada na maquete mantendo-se a relação de semelhança. Sabendo que a largura da praça na maquete é de 12 centímetros, o projetista precisa calcular o comprimento correspondente para garantir que a miniatura seja uma redução fiel da realidade.
Na escala de redução utilizada para a construção da maquete, a medida do comprimento da praça na miniatura deverá ser de
A) 18 centímetros.
B) 24 centímetros.
C) 48 centímetros.
D) 60 centímetros.
E) 180 centímetros.

Passo 1

O enunciado dá as medidas reais da praça e uma medida na maquete, e pede que se calcule a outra medida correspondente na maquete. Dados fornecidos:
  • largura real da praça: 24\\ \text{m}.
  • comprimento real da praça: 36\\ \text{m}.
  • largura da praça na maquete: 12\\ \text{cm}.
O que o problema pede: determinar o comprimento da praça na maquete (medida em centímetros) que mantém a semelhança com a planta real.

Passo 2

Ideia-chave (conceito necessário): quando duas figuras são semelhantes, as medidas correspondentes são proporcionais; existe uma razão de semelhança (fator de escala) s tal que, para qualquer comprimento real L_{\text{real}} e seu correspondente na maquete L_{\text{maquete}},
s=\frac{L_{\text{maquete}}}{L_{\text{real}}}.
Importante: para usar essa fórmula diretamente, as duas medidas devem estar na mesma unidade (por exemplo, ambas em centímetros). Vou explicar por que: dividir números com unidades diferentes (metros e centímetros) mistura unidades e o resultado fica incorreto; por isso primeiro igualamos as unidades.

Passo 3

Converter as medidas reais para a mesma unidade usada na maquete (centímetros). Lembrando que 1\\ \text{m}=100\\ \text{cm}, então:
24\\ \text{m}=24\cdot100\\ \text{cm}=2400\\ \text{cm},
36\\ \text{m}=36\cdot100\\ \text{cm}=3600\\ \text{cm}.
Estas conversões foram obtidas a partir dos dados do enunciado (peguei 24\\ \text{m} e 36\\ \text{m} do enunciado e converti para centímetros).

Passo 4

Calcular o fator de escala s usando a largura já conhecida na maquete. Temos:
s=\frac{12\\ \text{cm}}{2400\\ \text{cm}}=\frac{12}{2400}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 12,
\frac{12}{2400}=\frac{1}{200}.
Interpretação: a maquete está numa escala de redução 1:200 (cada unidade na maquete corresponde a 200 unidades na realidade).

Passo 5

Aplicar o fator de escala ao comprimento real para obter o comprimento na maquete. Se x é o comprimento na maquete (em centímetros), então
x=s\cdot 3600\\ \text{cm}=\frac{1}{200}\cdot 3600\\ \text{cm}.
Fazendo a conta:
x=\frac{3600}{200}\\ \text{cm}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 100:
x=\frac{36}{2}\\ \text{cm}=18\\ \text{cm}.
Verificação rápida (checagem): multiplicando 18\\ \text{cm} pelo fator 200 volta-se à medida real em centímetros: 18\cdot200=3600\\ \text{cm}=36\\ \text{m}. Tudo consistente.

Resposta

A) 18\\ \text{cm}

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