(C5660) Em um estudo sobre microbiologia, um pesquisador observa que uma determinada cultura de bactérias dobra sua população a cada hora. No início do experimento, a quantidade de bactérias era representada pela potência 2^{3}. O pesquisador registrou que a cultura manteve esse ritmo de crescimento por 4 horas adicionais seguidas.
A quantidade total de bactérias ao final desse período de 4 horas seria
A) 2^{1}
B) 4^{7}
C) 16^{3}
D) 2^{7}
E) 2^{12}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação 1: No início do experimento a quantidade de bactérias é \,2^{3}.
  • Informação 2: A cultura dobra de tamanho a cada hora (ou seja, multiplica por 2 a cada hora).
  • Informação 3: Esse ritmo de crescimento (dobrar a cada hora) se manteve por mais 4 horas.
  • Pergunta: Qual é a quantidade total de bactérias ao final desse período de 4 horas? (fornecem opções A–E)

Passo 2

Entendendo o que significa “dobrar a cada hora” em termos matemáticos:
  • Se uma população vale \,P e ela dobra em uma hora, a nova população após 1 hora é \,2\cdot P.
  • Se ela dobra durante n horas consecutivas, cada hora multiplica por 2, então o fator total de multiplicação é \,2^{n} (porque multiplicar por 2 repetidamente n vezes é a mesma coisa que elevar 2 à potência n).
Exemplo pequeno para fixar: se tinha 5 e dobra por 3 horas, fica 5\cdot2^{3}=5\cdot8=40.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema:
  • Começamos com \,2^{3} bactérias.
  • Crescimento por mais 4 horas significa multiplicar por \,2^{4} (fator total após 4 dobras).
Portanto, a quantidade final é o produto
2^{3}\cdot 2^{4}.

Passo 4

Agora uma breve aula sobre a propriedade de potências usada aqui:
  • Regra (multiplicação de potências de mesma base): \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
  • Aqui a base é 2, então
2^{3}\cdot 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}.
Essa regra vem do fato de que 2^{3}=2\cdot2\cdot2 e 2^{4}=2\cdot2\cdot2\cdot2; multiplicando junta-se a cadeia de fatores 2, totalizando 7 fatores 2.

Passo 5

Interpretação numérica (para sentir o número sem calculadora):
  • \,2^{3}=8.
  • Após 4 dobras, o fator adicional é \,2^{4}=16.
  • Então a população final é 8\cdot16=128, que é igual a \,2^{7}.

Passo 6

Verificação rápida das opções convertendo-as para potências de 2 (assim fica claro qual bate com nosso resultado):
  • A) \,2^{1} 2)
  • B) \,4^{7}=(2^{2})^{7}=2^{14}
  • C) \,16^{3}=(2^{4})^{3}=2^{12}
  • D) \,2^{7}
  • E) \,2^{12}
Comparando, a opção que coincide com nosso cálculo \,2^{7} é a opção D.

Passo 7

Resumo final do raciocínio que serve para fazer isso rápido na prova: comece com \,2^{3}; cada hora adiciona uma potência 2; quatro horas = multiplicar por \,2^{4}; aplicar 2^{3}\cdot2^{4}=2^{7}. Se precisar escolher a letra na prova, escolha a que corresponde a \,2^{7}.

Resposta

D) 2^{7}

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