(C5662) Um arquiteto está projetando o mosaico de uma praça central que terá o formato de um pentágono regular. Para a instalação de luminárias nos vértices internos desse polígono, ele precisa calcular com precisão a abertura do ângulo formado pelo encontro de dois lados consecutivos da praça, garantindo que o feixe de luz cubra exatamente a área interna de cada canto.
A medida de cada ângulo interno desse mosaico pentagonal é:
A) 72^{\circ}
B) 90^{\circ}
C) 108^{\circ}
D) 360^{\circ}
E) 540^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede a medida de cada ângulo interno de um pentágono regular. Informações relevantes fornecidas:
  • É um pentágono regular, ou seja, tem 5 lados e todos os ângulos internos são iguais.
  • As alternativas são:
    A) 72^\circ
    B) 90^\circ
    C) 108^\circ
    D) 360^\circ
    E) 540^\circ

Passo 2

Vamos usar uma ideia bem simples e muito útil: a soma dos ângulos internos de um polígono com n lados vale
(n-2)\cdot180^\circ.
Por que isso? Se você escolher um vértice qualquer e ligar esse vértice a todos os outros vértices não adjacentes, o polígono fica dividido em n-2 triângulos (cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ). Somando os ângulos desses n-2 triângulos obtém-se a soma dos ângulos internos do polígono.

Passo 3

Como o polígono é regular, todos os n ângulos internos têm a mesma medida. Portanto a medida de cada ângulo interno é a soma total dividida por n:
\text{ângulo interno}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},â
onde n é o número de lados do polígono.

Passo 4

Aplicando para o pentágono, que tem n=5:
\text{ângulo interno}=\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=\frac{3\cdot180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.â
Passo a passo aritmético: 3\cdot180^\circ=540^\circ e 540^\circ\div5=108^\circ.

Passo 5

Método alternativo (útil para rapidez na prova): o ângulo externo de um polígono regular vale \dfrac{360^\circ}{n}. Então o ângulo interno é
180^\circ-\frac{360^\circ}{n}.
Para n=5:
180^\circ-\frac{360^\circ}{5}=180^\circ-72^\circ=108^\circ,
mesmo resultado, mais rápido de calcular mentalmente.

Passo 6

Comparando com as alternativas, a medida encontrada 108^\circ corresponde à alternativa C).

Resposta

C) 108^\circ

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