Um cabo de aço com 3,2 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15 m de extensão deve erguer uma carga de 20 toneladas de massa. Qual é o comprimento do cabo durante a operação de içamento? O aço tem módulo de elasticidade de 138 GPa .

Passo 1

Resumindo, temos um cabo de aço com comprimento inicial L_0 = 15\\ \mathrm{m} e diâmetro d = 3{,}2\\ \mathrm{cm} que sustenta uma massa m = 20\\ \mathrm{t}. Queremos saber o comprimento final L quando o cabo é esticado pela carga. O conteúdo envolvido é deformação uniaxial elástica: vamos usar módulo de Young E, tensão \sigma e deformação \varepsilon segundo a Lei de Hooke, além de \delta L = \varepsilon L_0.

Passo 2

Primeiro calculamos a força peso aplicada e a área da seção transversal do cabo. Adotando g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
F = m\,g = 20\,000\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} = 1{,}96\times10^5\\ \mathrm{N}.
O diâmetro é d = 0{,}032\\ \mathrm{m}, logo a área é
A = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 = \pi(0{,}016)^2 \approx 8{,}04\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
A tensão no cabo é
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1{,}96\times10^5}{8{,}04\times10^{-4}} \approx 2{,}44\times10^8\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Com o módulo de Young E = 138\\ \mathrm{GPa} = 1{,}38\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}, a deformação é
\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{2{,}44\times10^8}{1{,}38\times10^{11}} \approx 1{,}77\times10^{-3}.
O alongamento do cabo é
\delta L = \varepsilon\,L_0 = 1{,}77\times10^{-3}\times15 \approx 0{,}0266\\ \mathrm{m}.

Passo 4

O comprimento final do cabo durante a içagem é
L = L_0 + \delta L = 15 + 0{,}0266 \approx 15{,}0266\\ \mathrm{m}.

Resposta

O cabo atinge aproximadamente 15{,}03\\ \mathrm{m} de comprimento.

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