Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor sólido interno de raio a e uma casca condutora cilíndrica externa de raio interno b e raio externo c. Existe uma corrente I para o fio interno, e uma corrente igual retorna no fio externo. As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor. Determine o campo magnético \vec{B} com justificativas, em função das variáveis do enunciado nos seguintes intervalos:
(0,5 ponto) r>c

Passo 1

O enunciado fornece um cabo coaxial com as seguintes informações:
  • Um condutor interno, cilíndrico e sólido, de raio a.
  • Uma casca cilíndrica condutora externa com raio interno b e raio externo c.
  • Existe uma corrente \;I\; que percorre o fio interno e uma corrente igual que retorna no fio externo (ou seja, as correntes têm mesmo módulo e sentidos opostos).
  • As correntes são uniformes nas respectivas seções transversais dos condutores.
    O que se pede: determinar o campo magnético \vec{B} para pontos com distância radial r maior que c, ou seja para \;r>c\;.

Passo 2

Observação sobre simetria e forma do campo: pelas simetrias do problema (cilíndrica, infinita ao longo do eixo), o campo magnético só pode depender de r e deve ser tangencial às circunferências centradas no eixo. Logo podemos escrever a forma geral
\vec{B}(r) = B_{\varphi}(r)\,\hat{\varphi},
onde \hat{\varphi} é o versor azimutal (tangencial) e B_{\varphi}(r) é uma função escalar que depende apenas de r. Esta conclusão vem das duas simetrias: invariância por translação ao longo do eixo e invariância por rotação em torno do eixo.

Passo 3

Apresentação da lei que vamos usar: a lei de Ampère (na forma integral) diz que, para um circuito fechado C,
\oint_{C} \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0}\, I_{\text{enc}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessada por qualquer superfície cujo contorno seja C. Vou explicar cada termo: \vec{B} é o campo magnético, d\vec{\ell} é um elemento do caminho C orientado, e a integral de linha calcula a circulação de \vec{B} ao redor do caminho.

Passo 4

Escolha do caminho amperiano (padrão para problemas cilíndricos): um círculo de raio r (com r>c) centrado no eixo do cabo. Para esse círculo d\vec{\ell}=r\,d\varphi\,\hat{\varphi} e, por simetria, \vec{B} é paralelo a d\vec{\ell} e de módulo constante sobre o caminho. Portanto a integral de Ampère reduz-se a
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell} = B_{\varphi}(r)\,\oint_{0}^{2\pi} r\,d\varphi = B_{\varphi}(r)\,2\pi r.

Passo 5

Cálculo da corrente encerrada I_{\text{enc}} pelo caminho para r>c: o caminho engloba tanto o condutor interno quanto toda a casca externa. Pelo enunciado, o condutor interno transporta corrente \;I\; em um sentido, e a casca externa transporta corrente de mesmo módulo \;I\; no sentido oposto (corrente de retorno). Tomando sinal positivo para a corrente do fio interno e negativo para a corrente da casca externa (porque fluem em sentidos opostos), tem-se
I_{\text{enc}} = I + (-I) = 0.
Observação: a distribuição uniforme de corrente nas seções não altera essa soma total — o que importa para r>c é apenas a corrente total em cada condutor, e elas se cancelam exatamente.

Passo 6

Aplicando a lei de Ampère com o lado esquerdo calculado no Passo 4 e o I_{\text{enc}} do Passo 5:
B_{\varphi}(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,I_{\text{enc}} = \mu_{0}\cdot 0 = 0.
Logo
B_{\varphi}(r) = 0 \quad\text{para } r>c.
Portanto o campo magnético é nulo fora da casca externa. Interpretação física curta: como a corrente total atravessada pelo contorno externo é zero (corrente que vai + corrente que volta = 0), não há campo magnético de longa distância externo — o cabo coaxial “não vaza” campo magnético para fora.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\vec{0}\quad\text{para}\quad r>c

Exercícios relacionados