Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor sólido interno de raio
e uma casca condutora cilíndrica externa de raio interno
e raio externo
. Existe uma corrente
para o fio interno, e uma corrente igual retorna no fio externo. As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor. Determine o campo magnético
com justificativas, em função das variáveis do enunciado nos seguintes intervalos:
ponto)
Passo 1
O enunciado fornece um cabo coaxial com as seguintes informações:
- Um condutor interno, cilíndrico e sólido, de raio
. - Uma casca cilíndrica condutora externa com raio interno
e raio externo . - Existe uma corrente
que percorre o fio interno e uma corrente igual que retorna no fio externo (ou seja, as correntes têm mesmo módulo e sentidos opostos). - As correntes são uniformes nas respectivas seções transversais dos condutores.
O que se pede: determinar o campo magnéticopara pontos com distância radial maior que , ou seja para .
Passo 2
Observação sobre simetria e forma do campo: pelas simetrias do problema (cilíndrica, infinita ao longo do eixo), o campo magnético só pode depender de
e deve ser tangencial às circunferências centradas no eixo. Logo podemos escrever a forma geral
onde
é o versor azimutal (tangencial) e
é uma função escalar que depende apenas de
. Esta conclusão vem das duas simetrias: invariância por translação ao longo do eixo e invariância por rotação em torno do eixo.
Passo 3
Apresentação da lei que vamos usar: a lei de Ampère (na forma integral) diz que, para um circuito fechado
,
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a corrente total atravessada por qualquer superfície cujo contorno seja
. Vou explicar cada termo:
é o campo magnético,
é um elemento do caminho
orientado, e a integral de linha calcula a circulação de
ao redor do caminho.
Passo 4
Escolha do caminho amperiano (padrão para problemas cilíndricos): um círculo de raio
(com
) centrado no eixo do cabo. Para esse círculo
e, por simetria,
é paralelo a
e de módulo constante sobre o caminho. Portanto a integral de Ampère reduz-se a
Passo 5
Cálculo da corrente encerrada
pelo caminho para
: o caminho engloba tanto o condutor interno quanto toda a casca externa. Pelo enunciado, o condutor interno transporta corrente
em um sentido, e a casca externa transporta corrente de mesmo módulo
no sentido oposto (corrente de retorno). Tomando sinal positivo para a corrente do fio interno e negativo para a corrente da casca externa (porque fluem em sentidos opostos), tem-se
Observação: a distribuição uniforme de corrente nas seções não altera essa soma total — o que importa para
é apenas a corrente total em cada condutor, e elas se cancelam exatamente.
Passo 6
Aplicando a lei de Ampère com o lado esquerdo calculado no Passo 4 e o
do Passo 5:
Logo
Portanto o campo magnético é nulo fora da casca externa. Interpretação física curta: como a corrente total atravessada pelo contorno externo é zero (corrente que vai + corrente que volta = 0), não há campo magnético de longa distância externo — o cabo coaxial “não vaza” campo magnético para fora.