Seja um bastão fino de vidro de comprimento L e com uma carga Q. Encontre uma expressão para o potencial elétrico criado pelo bastão a uma distância x do centro do bastão em um ponto do eixo dos x. Repita seus cálculos para um ponto a uma distância z do centro do mesmo sobre a linha de bissecção.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontre o potencial elétrico criado por um bastão fino de comprimento L e carga total Q em um ponto sobre o eixo do bastão, a uma distância x do centro do bastão.
Repita para um ponto sobre a linha de bissecção (a reta perpendicular que passa pelo centro do bastão), a uma distância z do centro.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (implícitas no enunciado comum deste problema):
O bastão é fino e carregado de forma uniforme ao longo do comprimento, então a densidade linear de carga é \lambda=\dfrac{Q}{L}.
Vou usar o potencial com referência V(\infty)=0.
Posicionarei o bastão ao longo do eixo x, com suas coordenadas variando de x'=-\dfrac{L}{2} até x'=\dfrac{L}{2}, e o centro na origem.
O ponto pedido na primeira parte é sobre o mesmo eixo x, a uma distância x do centro (ou seja, coordenada x). O ponto da segunda parte está sobre a reta perpendicular que passa pelo centro a uma distância z (coordenada z na direção perpendicular).
Passo 2
Lembrete de física básica usada aqui (aula rápida e amigável):
O potencial devido a um elemento de carga dq numa distância r é
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Costumo escrever k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} para simplificar as contas.
Para a barra com densidade linear \lambda, um pequeno elemento de comprimento dx' contém dq=\lambda\,dx'.
Para obter o potencial total, integramos dV sobre toda a barra.
Passo 3
Preparando a integral geral. Usando k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} e dq=\lambda\,dx', o potencial é
V=\int dV = k\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\lambda\,dx'}{r(x')},
onde r(x') é a distância entre o elemento de coordenada x' e o ponto onde queremos o potencial. Agora faremos cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1: ponto sobre o eixo do bastão, a uma distância x do centro (coordenada do ponto é x).
Distância entre o elemento em x' e o ponto em x é r=|x-x'|.
A integral fica
V(x)=k\lambda\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx'}{|x-x'|}.
Nota importante: se o ponto estiver exatamente sobre a própria barra (ou seja, |x|\le L/2), a integral contém a singularidade em x'=x e diverge (o potencial de uma distribuição linear no próprio trajeto diverge logarithmicamente). Portanto a expressão abaixo vale para pontos que não estejam sobre a barra (tipicamente |x|>L/2). Vou calcular o caso |x|>L/2.
Passo 5
Cálculo da integral para |x|>L/2. Como não há singularidade, podemos eliminar o valor absoluto sabendo o sinal de x-x'. Para |x|>L/2 tomamos:
onde aqui o denominador tem mesmo sinal em todo intervalo (por exemplo, se x>L/2 então x-x'>0 para todo x' no intervalo). Faço a substituição u=x-x', então du=-dx' e quando x'=-L/2 temos u=x+L/2, e quando x'=L/2 temos u=x-L/2. A integral torna-se
Interpretação e substituição de \lambda. Lembrando que \lambda=\dfrac{Q}{L} e k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}, temos a expressão final (válida para pontos sobre o eixo com |x|>L/2):
Comentário adicional (útil na prova): se o ponto estiver fora e muito longe (|x|\gg L), faz sentido verificar que o potencial tende ao de uma carga pontual Q:
Para |x|\gg L, expandindo o logaritmo, obtemos V(x)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{x}, que é o comportamento esperado.
Também enfatizo: se |x|\le L/2 (ponto sobre a barra), a integral diverge e o potencial formalmente tende a infinito (idealização da barra infinitamente fina).
Passo 7
Caso 2: ponto sobre a linha de bissecção perpendicular, a uma distância z do centro.
Coloco o bastão ao longo do eixo x como antes. O ponto está a distância z perpendicularmente ao centro, então a posição do ponto pode ser (0,0,z) e um elemento do bastão tem coordenada (x',0,0).
válida para z\ne 0 (e no caso z>0 a expressão está bem definida; para z<0 dá o mesmo valor por simetria, pois depende de z^{2}).
Passo 10
Comentários finais e checagens rápidas (úteis na prova para ganhar pontos):
Limite de grande distância z\gg L: expandindo o logaritmo, obtemos V(z)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{z}, ou seja, potencial de carga pontual Q.
Se z\to 0 (ponto sobre a barra), a expressão diverge: novamente a idealização de bastão infinitamente fino gera singularidade no potencial no próprio eixo da carga.
Sempre declare no enunciado da sua resposta que se assume carga uniformemente distribuída (\lambda=Q/L) e referência V(\infty)=0.
Resposta
V(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{L}\ln\left|\frac{x+\dfrac{L}{2}}{x-\dfrac{L}{2}}\right|\quad(\text{válido para }|x|>\tfrac{L}{2};\\ \text{diverge se }|x|\le\tfrac{L}{2})á
V(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{L}\ln\!\left(\frac{\sqrt{z^{2}+\left(\dfrac{L}{2}\right)^{2}}+\dfrac{L}{2}}{\sqrt{z^{2}+\left(\dfrac{L}{2}\right)^{2}}-\dfrac{L}{2}}\right)\quad(\text{válido para }z\neq 0)á