O espaço entre duas esferas concêntricas de raios
e
encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico
, em função da distância
do centro das esferas, considerando as regiões: (a)
; (b)
; (c)
; (d) essas soluções concordam em
e
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Duas esferas concêntricas têm raios
e com . - A região entre as esferas, isto é
, está preenchida por um dielétrico com densidade de carga volumétrica uniforme . - Pede-se o potencial elétrico
como função da distância do centro, nas três regiões: (a) ; (b) ; (c) . - Pergunta-se ainda (d) se as soluções coincidem (são contínuas) em
e .
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Densidade volumétrica
constante na faixa e igual a zero fora dessa faixa. - Vamos tomar a referência de potencial
(opção habitual para problemas com carga localizada). - O problema é esfericamente simétrico: todas as grandezas dependem só de
.
Passo 2
Ideia física e fórmula básica que vamos usar (explicada devagar):
- Para problemas esfericamente simétricos, o campo elétrico
aponta radialmente e depende só de . - Usamos a Lei de Gauss no vácuo:
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada e
é a permissividade do vácuo.
- Para uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada no mesmo centro, . Assim
- Depois de obter
em cada região, obtemos o potencial pela relação (caminho radial):
com a convenção
. Explico: o potencial em
é a integral negativa do campo do infinito até
.
Passo 3
Cálculo da carga total entre as esferas (para usar em
):
- A carga volumétrica é
em e nula fora. A carga total contida nessa casca esférica é a integral do volume:
Passo 4
Campo elétrico para
(fora da distribuição):
- Para
a superfície gaussiana envolve toda a carga . Aplicando a fórmula do passo 2:
- Simplificando os fatores
:
Passo 5
Potencial para
:
- Usando
e , com :
- Calcule a integral:
. - Portanto
(Esta é a forma de um potencial como se toda a carga estivesse concentrada no centro, com a constante adequada.)
Passo 6
Carga contida para
(enclosed charge dependente de
):
- Para uma esfera de raio
com , só a parte entre e contribui. Assim
Passo 7
Campo elétrico para
:
- Aplicando Gauss:
- Simplificando:
- Observação intuitiva: o campo cresce com
inicialmente (termo ) mas há correção negativa pela carga “próxima” ao centro ( ).
Passo 8
Potencial para
(integração detalhada e simplificação):
- Em vez de integrar desde o infinito diretamente, uso a continuidade de
e escrevo
pois
já conhecemos da região externa (passo 5) e a integral é feita de
até
dentro do material.
- Primeiro,
. - Agora calcule
. - Calcule a integral interna passo a passo:
porque
e
.
- Avaliando entre
e :
- Multiplicando pelo fator externo:
- Finalmente
- Simplifique passo a passo:
. Substituindo e cancelando os termos chega-se a
- Reescrevendo com fator único:
Passo 9
Potencial para
(região interna, cavidade):
- Para
uma superfície gaussiana não inclui carga alguma (toda a carga está fora, entre e ), então e, por Gauss,
- Como o campo é zero, o potencial é constante dentro da cavidade; portanto
para todo . - Calcule
substituindo na fórmula do passo 8:
- Simplificando:
Passo 10
Verificação de continuidade em
e
(resposta à parte (d)):
- Em
: usar com dá
Usando a expressão de
para
com
também obtemos o mesmo valor (ver passo 8). Assim
é contínuo em
.
- Em
: usar a expressão de para com dá
que coincide com
encontrado para
. Assim
é contínuo em
.
- Conclusão: as soluções coincidem (o potencial é contínuo) em
e . (Além disso, o campo também resulta contínuo nestes pontos neste problema específico.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim — os valores coincidem (o potencial é contínuo) em
e
.