O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme, \rho. Determinar o potencial elétrico V, em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (a) r>b; (b) b>r>a; (c) r<a; (d) essas soluções concordam em r=a e r=b ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Duas esferas concêntricas têm raios a e b com a<b.
  • A região entre as esferas, isto é a<r<b, está preenchida por um dielétrico com densidade de carga volumétrica uniforme \rho.
  • Pede-se o potencial elétrico V como função da distância r do centro, nas três regiões: (a) r>b; (b) a<r<b; (c) r<a.
  • Pergunta-se ainda (d) se as soluções coincidem (são contínuas) em r=a e r=b.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Densidade volumétrica \rho constante na faixa a<r<b e igual a zero fora dessa faixa.
  • Vamos tomar a referência de potencial V(\infty)=0 (opção habitual para problemas com carga localizada).
  • O problema é esfericamente simétrico: todas as grandezas dependem só de r.

Passo 2

Ideia física e fórmula básica que vamos usar (explicada devagar):
  • Para problemas esfericamente simétricos, o campo elétrico \mathbf{E} aponta radialmente e depende só de r.
  • Usamos a Lei de Gauss no vácuo:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Para uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada no mesmo centro, \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2. Assim
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Depois de obter E(r) em cada região, obtemos o potencial pela relação (caminho radial):
V(r)=-\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\int_{\infty}^{r} E(s)\,ds,
com a convenção V(\infty)=0. Explico: o potencial em r é a integral negativa do campo do infinito até r.

Passo 3

Cálculo da carga total entre as esferas (para usar em r>b):
  • A carga volumétrica é \rho em a<r<b e nula fora. A carga total Q contida nessa casca esférica é a integral do volume:
Q=\rho\cdot \text{Vol}(\text{casca})=\rho\cdot\left(\frac{4\pi}{3}\bigl(b^3-a^3\bigr)\right).

Passo 4

Campo elétrico para r>b (fora da distribuição):
  • Para r>b a superfície gaussiana envolve toda a carga Q. Aplicando a fórmula do passo 2:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho\cdot \frac{4\pi}{3}\bigl(b^3-a^3\bigr)}{r^2}.
  • Simplificando os fatores 4\pi:
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{r^2},\qquad r>b.

Passo 5

Potencial para r>b:
  • Usando V(\infty)=0 e V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(s)\,ds, com E(s)=\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\dfrac{b^3-a^3}{s^2}:
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\frac{b^3-a^3}{s^2}\,ds.
  • Calcule a integral: \displaystyle \int_{\infty}^{r}\frac{1}{s^2}\,ds = \left[-\frac{1}{s}\right]_{\infty}^{r}=\frac{1}{r}.
  • Portanto
V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{r},\qquad r>b.
(Esta é a forma de um potencial como se toda a carga estivesse concentrada no centro, com a constante adequada.)

Passo 6

Carga contida para a<r<b (enclosed charge dependente de r):
  • Para uma esfera de raio r com a<r<b, só a parte entre a e r contribui. Assim
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot\frac{4\pi}{3}\bigl(r^3-a^3\bigr).

Passo 7

Campo elétrico para a<r<b:
  • Aplicando Gauss:
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho\cdot\frac{4\pi}{3}\bigl(r^3-a^3\bigr)}{r^2}.
  • Simplificando:
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\frac{r^3-a^3}{r^2}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Bigl(r-\frac{a^3}{r^2}\Bigr),\qquad a<r<b.
  • Observação intuitiva: o campo cresce com r inicialmente (termo r) mas há correção negativa pela carga “próxima” ao centro ( a^3/r^2).

Passo 8

Potencial para a<r<b (integração detalhada e simplificação):
  • Em vez de integrar desde o infinito diretamente, uso a continuidade de V e escrevo
V(r)=V(b)-\int_{b}^{r}E(s)\,ds,
pois V(b) já conhecemos da região externa (passo 5) e a integral é feita de b até r dentro do material.
  • Primeiro, V(b)=\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\dfrac{b^3-a^3}{b}.
  • Agora calcule \displaystyle \int_{b}^{r}E(s)\,ds=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_{b}^{r}\Bigl(s-\frac{a^3}{s^2}\Bigr)ds.
  • Calcule a integral interna passo a passo:
\int\Bigl(s-\frac{a^3}{s^2}\Bigr)ds=\frac{1}{2}s^2 + \frac{a^3}{s} + C,
porque \displaystyle\int s\,ds=\frac{1}{2}s^2 e \displaystyle\int -\frac{a^3}{s^2}ds= \frac{a^3}{s}.
  • Avaliando entre b e r:
\int_{b}^{r}\Bigl(s-\frac{a^3}{s^2}\Bigr)ds = \Bigl(\frac{1}{2}r^2+\frac{a^3}{r}\Bigr)-\Bigl(\frac{1}{2}b^2+\frac{a^3}{b}\Bigr).
  • Multiplicando pelo fator externo:
\int_{b}^{r}E(s)\,ds=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{2}(r^2-b^2)+a^3\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\Bigr)\Bigr).
  • Finalmente
V(r)=V(b)-\int_{b}^{r}E(s)\,ds
=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\frac{b^3-a^3}{b}-\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{2}(r^2-b^2)+a^3\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\Bigr)\Bigr).
  • Simplifique passo a passo: \dfrac{b^3-a^3}{b}=b^2-\dfrac{a^3}{b}. Substituindo e cancelando os termos \pm a^3/b chega-se a
V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Bigl(\frac{3}{2}b^2-\frac{1}{2}r^2-\frac{a^3}{r}\Bigr).
  • Reescrevendo com fator único:
V(r)=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}\Bigl(3b^2-r^2-\frac{2a^3}{r}\Bigr),\qquad a<r<b.

Passo 9

Potencial para r<a (região interna, cavidade):
  • Para r<a uma superfície gaussiana não inclui carga alguma (toda a carga está fora, entre a e b), então Q_{\text{int}}=0 e, por Gauss,
E(r)=0,\qquad r<a.
  • Como o campo é zero, o potencial é constante dentro da cavidade; portanto V(r)=V(a) para todo r<a.
  • Calcule V(a) substituindo r=a na fórmula do passo 8:
V(a)=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}\Bigl(3b^2-a^2-\frac{2a^3}{a}\Bigr)=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}\bigl(3b^2-3a^2\bigr).
  • Simplificando:
V(r)=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\bigl(b^2-a^2\bigr),\qquad r<a.

Passo 10

Verificação de continuidade em r=a e r=b (resposta à parte (d)):
  • Em r=b: usar V(r>b) com r\to b
V(b^+)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\frac{b^3-a^3}{b}.
Usando a expressão de V para a<r<b com r=b também obtemos o mesmo valor (ver passo 8). Assim V é contínuo em r=b.
  • Em r=a: usar a expressão de V para a<r<b com r\to a
V(a^-)=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}\bigl(3b^2-a^2-\frac{2a^3}{a}\bigr)=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}(b^2-a^2),
que coincide com V(a) encontrado para r<a. Assim V é contínuo em r=a.
  • Conclusão: as soluções coincidem (o potencial é contínuo) em r=a e r=b. (Além disso, o campo \mathbf{E} também resulta contínuo nestes pontos neste problema específico.)

Resposta

(a) \displaystyle V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{r},\qquad r>b.
(b) \displaystyle V(r)=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}\Bigl(3b^2-r^2-\frac{2a^3}{r}\Bigr),\qquad a<r<b.
(c) \displaystyle V(r)=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\bigl(b^2-a^2\bigr),\qquad r<a.
(d) Sim — os valores coincidem (o potencial é contínuo) em r=a e r=b.

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