Um cabo coaxial é formado por um condutor interno de raio a e um condutor externo de raio b com b>a. O meio dielétrico entre os dois condutores é o ar.
a) Ache a distribuição de campo elétrico no interior do cabo, a<r<b, quando uma fonte de tensão impõe uma diferença de potencial V entre os condutores.
b) Se uma carga resistiva faz fluir uma corrente I no condutor interno, calcule a potência transmitida ao longo do cabo usando o vetor poynting.
c) Calcule a indutância e a capacitância por unidade de comprimento do cabo.
d) Escreva a fórmula da potência transmitida através do cabo em termos do campo máximo.

Passo 1

O enunciado trata de um cabo coaxial com condutor interno de raio a e externo de raio b, separados por ar. Precisamos obter:
– a distribuição do campo elétrico em a<r<b quando há diferença de potencial V,
– a potência transmitida para uma corrente I usando o vetor de Poynting,
– a capacitância e indutância por unidade de comprimento,
– a potência transmitida em função do campo máximo.

Passo 2

Para achar E(r) usamos a Lei de Gauss em simetria cilíndrica. Tomando um cilindro de raio r e comprimento l, o fluxo é
ointEcdot dA=E(r),2pi r,l=lambda,lvarepsilon0,
onde lambda é a densidade linear de carga. Logo
E(r)=lambda2pivarepsilon0,r,
Como a diferença de potencial entre a e b é
V=integrala^b E(r),dr =lambda2pivarepsilon0integrala^bdrr =lambda2pivarepsilon0ln!gl(bagr),
temos lambda=2pivarepsilon0V/ln(b/a). Substituindo em E(r):
boxedE(r)=Vr,ln(b/a), r, a<r<b

Passo 3

Para calcular a potência transmitida usamos S=EtimesH. De Ampère em simetria cilíndrica vem
Hphi(r)=I2pi r
e S aponta na direção do cabo com componente
Sz=Er,Hphi=Vrln(b/a)cdotI2pi r
A potência é
P=integrala^bSz,2pi r,dr =VIln(b/a)integrala^bdrr =VI
boxedP=VI

Passo 4

A capacitância por comprimento C' é definida por C'=Q'/V, onde Q'=lambda. Usando lambda achada,
boxedC'=lambdaV =2pivarepsilon0ln(b/a)

Passo 5

A indutância por comprimento L' vem de L'=Phi'/I, com fluxo por volta do condutor interno
Phi'=integrala^b Bz,drtimes l =integrala^bmu0Hphi,dr =mu0I2piln!gl(bagr)
Logo
boxedL'=Phi'I =mu02piln!gl(bagr)

Passo 6

O campo máximo ocorre em r=a: Emax=E(a)=V/(aln(b/a)). Escrevendo P via energia eletromagnética,
P=integrala^bE^2eta,2pi r,dr,
onde eta=raizmu0/varepsilon0. Como E(r)=Emax,a/r,
P =2pi Emax^2a^2etaintegrala^bdrr =2pi a^2ln(b/a)eta,Emax^2
boxedP =2pi a^2ln(b/a)eta;Emax^2

Resposta

a) E(r)=Vr,ln(b/a), r.
b) P=VI.
c) C'=2pivarepsilon0ln(b/a), L'=mu02piln!l(tfracbar)
d) P=2pi a^2ln(b/a)eta;Emax^2, onde Emax=Valn(b/a).

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