1- Determine o vetor força gravitacional atuando sobre a partícula localizada no canto inferior esquerdo do quadrado.

Passo 1

O enunciado descreve um quadrado de lado L com quatro partículas idênticas de massa m nos vértices. Queremos a força gravitacional resultante sobre a partícula que está no canto inferior esquerdo, devida às outras três massas. O conteúdo usado será a Lei da Gravitação Universal de Newton e soma vetorial de forças.

Passo 2

A Lei da Gravitação Universal diz que, entre duas massas m1 e m2 separadas por uma distância r, a força de atração é
F = G,m1,m2r^2
na direção que une as duas massas. Aqui todas as massas valem m e G é a constante gravitacional.

Passo 3

Força da massa no canto inferior direito (distância L, direção +hatimath):
Frm horiz = G,m^2L^2 Longrightarrow vec Frm horiz = G,m^2L^2,hatimath

Passo 4

Força da massa no canto superior esquerdo (distância L, direção +hatjmath):
Frm vert = G,m^2L^2 Longrightarrow vec Frm vert = G,m^2L^2,hatjmath

Passo 5

Força da massa no canto superior direito (distância raiz2,L, direção ao longo de 45^circ em relação aos eixos):
Frm diag = G,m^2(raiz2,L)^2 = G,m^22,L^2
O versor dessa direção é tfrac1raiz2,hatimath+tfrac1raiz2,hatjmath, logo
vec Frm diag = G,m^22,L^2,l(tfrac1raiz2,hatimath+tfrac1raiz2,hatjmathr) = G,m^22raiz2,L^2,hatimath +G,m^22raiz2,L^2,hatjmath

Passo 6

Somando todas as componentes em x e em y:
Fx = G,m^2L^2 +G,m^22raiz2,L^2 = G,m^2L^2l(1+tfrac12raiz2r),
Fy = G,m^2L^2 +G,m^22raiz2,L^2 = G,m^2L^2l(1+tfrac12raiz2r)

Resposta

boxed vec F = G,m^2L^2l(1+tfrac12raiz2r),hatimath +G,m^2L^2l(1+tfrac12raiz2r),hatjmath

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