Um cabo coaxial sem perdas, possui impedância características
. Um sinal de 480 MHz se propaga no cabo com velocidade de
Calcule a comprimento de onda
, os valores de L e C (por unidade de comprimento) da linha.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pego do enunciado):
- Impedância característica:
. - Frequência do sinal:
. - Velocidade de propagação:
.
O que o enunciado pede:
- Calcular o comprimento de onda
. - Calcular o indutância por unidade de comprimento
(unidade: ). - Calcular a capacitância por unidade de comprimento
(unidade: ).
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vou usar (explicadinhas):
- Em uma linha de transmissão ideal (sem perdas), a impedância característica relaciona a indutância por unidade de comprimento
e a capacitância por unidade de comprimento pela fórmula
Aqui
tem unidade
,
tem unidade
e
tem unidade
.
- A velocidade de fase (velocidade de propagação) na linha é dada por
Essa relação vem das equações da linha (Telegrapher) no caso sem perdas; ela diz que quanto maiores
e
, mais lenta é a onda.
- O comprimento de onda
relaciona-se com a velocidade e a frequência por
Meu plano matemático (resumido): usar
e
para resolver
e
em função de
e
. Não é necessário outro dado.
Passo 3
Manipulação algébrica para obter
e
explicitamente (mostrando cada passo):
- Da fórmula
segue que
- Substituindo em
obtemos
- Isolando
dá
- Em seguida, usando
ou diretamente (ambas iguais), temos
Resumo das fórmulas que vou aplicar numericamente:
Passo 4
Conversões de unidades (passo a passo):
- Converter
de para :
- Converter
de para :
Passo 5
Cálculo do comprimento de onda
:
Arredondando com precisão razoável para a prática,
Passo 6
Cálculo da capacitância por unidade de comprimento
:
- Usando
. Primeiro calcule o denominador:
- Então
Arredondando de forma prática,
Passo 7
Cálculo da indutância por unidade de comprimento
:
- Usando
:
Arredondando de forma prática,
Passo 8
Verificação rápida (sanity check) para garantir consistência:
- Produto
deve ser . Calculando com os valores arredondados aproximados:
e
coincidem numericamente dentro da precisão, então está consistente.