Um cabo coaxial sem perdas, possui impedância características \mathrm{Zo}_{\mathrm{o}}=75 \Omega. Um sinal de 480 MHz se propaga no cabo com velocidade de 265.000 \mathrm{~km} / \mathrm{s} Calcule a comprimento de onda (\lambda), os valores de L e C (por unidade de comprimento) da linha.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pego do enunciado):
  • Impedância característica: Z_{0}=75\\ \Omega.
  • Frequência do sinal: f=480\\ \mathrm{MHz}.
  • Velocidade de propagação: v=265{,}000\\ \mathrm{km/s}.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular o comprimento de onda \lambda.
  2. Calcular o indutância por unidade de comprimento L (unidade: \mathrm{H/m}).
  3. Calcular a capacitância por unidade de comprimento C (unidade: \mathrm{F/m}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vou usar (explicadinhas):
  • Em uma linha de transmissão ideal (sem perdas), a impedância característica relaciona a indutância por unidade de comprimento L e a capacitância por unidade de comprimento C pela fórmula
Z_{0}=\sqrt{\dfrac{L}{C}}.
Aqui Z_{0} tem unidade \Omega, L tem unidade \mathrm{H/m} e C tem unidade \mathrm{F/m}.
  • A velocidade de fase (velocidade de propagação) na linha é dada por
v=\dfrac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Essa relação vem das equações da linha (Telegrapher) no caso sem perdas; ela diz que quanto maiores L e C, mais lenta é a onda.
  • O comprimento de onda \lambda relaciona-se com a velocidade e a frequência por
\lambda=\dfrac{v}{f}.
Meu plano matemático (resumido): usar Z_{0}=\sqrt{L/C} e v=1/\sqrt{LC} para resolver L e C em função de Z_{0} e v. Não é necessário outro dado.

Passo 3

Manipulação algébrica para obter C e L explicitamente (mostrando cada passo):
  • Da fórmula Z_{0}=\sqrt{L/C} segue que
L=Z_{0}^{2}\,C.
  • Substituindo em v=1/\sqrt{L C} obtemos
v=\dfrac{1}{\sqrt{(Z_{0}^{2}C)\,C}}=\dfrac{1}{\sqrt{Z_{0}^{2}C^{2}}}=\dfrac{1}{Z_{0}C}.
  • Isolando C
C=\dfrac{1}{Z_{0}\,v}.
  • Em seguida, usando L=Z_{0}^{2}C ou diretamente L=Z_{0}/v (ambas iguais), temos
L=\dfrac{Z_{0}}{v}.
Resumo das fórmulas que vou aplicar numericamente:
\lambda=\dfrac{v}{f},\qquad C=\dfrac{1}{Z_{0}\,v},\qquad L=\dfrac{Z_{0}}{v}.

Passo 4

Conversões de unidades (passo a passo):
  • Converter v de \mathrm{km/s} para \mathrm{m/s}:
v=265{,}000\\ \mathrm{km/s}=265{,}000\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}=2{,}65\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter f de \mathrm{MHz} para \mathrm{Hz}:
f=480\\ \mathrm{MHz}=480\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}=4{,}8\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda \lambda:
\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{2{,}65\times10^{8}}{4{,}8\times10^{8}}=0{,}5520833\\ \mathrm{m}.
Arredondando com precisão razoável para a prática,
\lambda\approx0{,}552\\ \mathrm{m}\quad(\text{ou }55{,}2\\ \mathrm{cm}).

Passo 6

Cálculo da capacitância por unidade de comprimento C:
  • Usando C=1/(Z_{0}v). Primeiro calcule o denominador:
Z_{0}\,v=75\times(2{,}65\times10^{8})=1{,}9875\times10^{10}.
  • Então
C=\dfrac{1}{1{,}9875\times10^{10}}=5{,}02914798\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Arredondando de forma prática,
C\approx5{,}03\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}=50{,}3\\ \mathrm{pF/m}.

Passo 7

Cálculo da indutância por unidade de comprimento L:
  • Usando L=Z_{0}/v:
L=\dfrac{75}{2{,}65\times10^{8}}=2{,}83018868\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Arredondando de forma prática,
L\approx2{,}83\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}=283\\ \mathrm{nH/m}.

Passo 8

Verificação rápida (sanity check) para garantir consistência:
  • Produto L\,C deve ser 1/v^{2}. Calculando com os valores arredondados aproximados:
L\,C\approx(2{,}83\times10^{-7})(5{,}03\times10^{-11})\approx1{,}423\times10^{-17},
e
\dfrac{1}{v^{2}}=\dfrac{1}{(2{,}65\times10^{8})^{2}}=\dfrac{1}{7{,}0225\times10^{16}}=1{,}423\times10^{-17},
coincidem numericamente dentro da precisão, então está consistente.

Resposta

\lambda=0{,}552\\ \mathrm{m}
L=2{,}83\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}=283\\ \mathrm{nH/m}
C=5{,}03\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}=50{,}3\\ \mathrm{pF/m}

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