Um cabo coaxial, de resistência desprezível, tem seus cilindros interno e externo conectados por um resistor resistência R. Uma bateria, alimenta o cabo e o resistor, conforme indicado no esquema abaixo.
Integrando
, mostre que a potência transmitida através da região entre os cilindros é igual à potência consumida no resistor.
Integrando
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cabo coaxial (resistência dos fios é desprezível) e os dois condutores – interno e externo – estão ligados por um resistor de resistência
. Uma bateria alimenta esse sistema. A tarefa é usar o vetor de Poynting
e mostrar que a potência que entra na região dielétrica entre os cilindros (ou seja, o fluxo de
) é exatamente igual à potência dissipada em
.
Conteúdo: eletromagnetismo (Lei de Gauss, Lei de Ampère e vetor de Poynting). Vamos precisar calcular os campos e
entre os cilindros, montar
e integrar seu fluxo.
Conteúdo: eletromagnetismo (Lei de Gauss, Lei de Ampère e vetor de Poynting). Vamos precisar calcular os campos
Passo 2
Calcular
entre as duas superfícies cilíndricas (raios
e
).
– Pelo teorema de Gauss para o campo elétrico, num cilindro coaxial de comprimento e carga linear
:
– Pelo teorema de Gauss para o campo elétrico, num cilindro coaxial de comprimento
Logo
Passo 3
Calcular
entre os cilindros.
– Pela Lei de Ampère num caminho circular de raio :
– Pela Lei de Ampère num caminho circular de raio
Assim
Passo 4
Determinar o vetor de Poynting
.
A direção de
é
(eixo do cabo), mostrando que a energia flui ao longo do cabo.
Passo 5
Calcular a potência transmitida, integrando o fluxo de
pela superfície lateral interna ao dielétrico (área
, normal
):
Passo 6
Reconhecer que a diferença de potencial entre os cilindros vale
Logo
E como a carga está conectada pelo resistor
, temos
, ou seja
que é exatamente a potência dissipada no resistor.
Resposta
A potência que entra pela região entre os cilindros, calculada pelo fluxo do vetor de Poynting, é igual a
ou seja, coincide com a potência consumida no resistor.