Um cabo coaxial, de resistência desprezível, tem seus cilindros interno e externo conectados por um resistor resistência R. Uma bateria, alimenta o cabo e o resistor, conforme indicado no esquema abaixo.
Integrando S, mostre que a potência transmitida através da região entre os cilindros é igual à potência consumida no resistor.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cabo coaxial (resistência dos fios é desprezível) e os dois condutores – interno e externo – estão ligados por um resistor de resistência S = 1mu0 , Etimes B . Uma bateria alimenta esse sistema. A tarefa é usar o vetor de Poynting
e mostrar que a potência que entra na região dielétrica entre os cilindros (ou seja, o fluxo de ) é exatamente igual à potência dissipada em .
Conteúdo: eletromagnetismo (Lei de Gauss, Lei de Ampère e vetor de Poynting). Vamos precisar calcular os campos e entre os cilindros, montar e integrar seu fluxo.

Passo 2

Calcular oint Ecdot d A = Qrm internavarepsilon0 Longrightarrow E(r),(2pi r L) = lambda Lvarepsilon0 entre as duas superfícies cilíndricas (raios E(r) ;=;lambda2pivarepsilon0,r,hat r e ).
– Pelo teorema de Gauss para o campo elétrico, num cilindro coaxial de comprimento e carga linear :
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Passo 3

Calcular oint Bcdot dboldsymbolell = mu0 I Longrightarrow B(r),(2pi r)=mu0 I entre os cilindros.
– Pela Lei de Ampère num caminho circular de raio B(r) ;=;mu0,I2pi,r,hatphi :
Assim

Passo 4

Determinar o vetor de Poynting S ;=;1mu0, Etimes B ;Longrightarrow; | S| =1mu0,E(r),B(r) =1mu0, lambda2pivarepsilon0,r ;mu0 I2pi,r =lambda,I4pi^2varepsilon0,r^2 .
A direção de é (eixo do cabo), mostrando que a energia flui ao longo do cabo.

Passo 5

Calcular a potência transmitida, integrando o fluxo de P = integral dupla Scdot d A = integralr=a^r=b lambda,I4pi^2varepsilon0,r^2;(2pi r,dr) = lambda,I2pivarepsilon0integrala^bdrr = lambda,I2pivarepsilon0ln!ba pela superfície lateral interna ao dielétrico (área , normal ):

Passo 6

Reconhecer que a diferença de potencial entre os cilindros vale
V ;=;integrala^b Ecdot d r =integrala^blambda2pivarepsilon0,r,dr =lambda2pivarepsilon0ln!ba
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P = I,V
E como a carga está conectada pelo resistor P = I^2,R, , temos , ou seja
que é exatamente a potência dissipada no resistor.

Resposta

A potência que entra pela região entre os cilindros, calculada pelo fluxo do vetor de Poynting, é igual a
P=I,V=I^2,R,
ou seja, coincide com a potência consumida no resistor.

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