Um cabo, ligado ao ponto
, exerce uma força de
na ponta
de um guindaste de
, inclinado de
. O ponto
está posicionado
acima do solo.(a) Calcule o torque máximo possível relação ao ponto
(b) Calcule a posição
de maneira a obter um torque máximo em relação ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cabo ligado ao ponto $ A $ que exerce uma força de $ P = 8,99 , kN $ na ponta $ B $ de um guindaste que tem um comprimento de $ L = 23,4 , m $ e está inclinado em um ângulo de $ \theta = 20,3^\circ $. Além disso, o ponto $ O $ está localizado a $ h = 0,669 , m $ acima do chão. Precisamos calcular:
a) O torque máximo possível em relação ao ponto $ O $.
b) A posição $ x $ onde esse torque máximo ocorre.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque na física, que é uma medida de como uma força causa uma rotação em relação a um ponto de aplicação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do torque ($ \tau $):
Onde:
- $ r $ é a distância do ponto de rotação até o ponto onde a força é aplicada.
- $ F $ é a força aplicada.
- $ \phi $ é o ângulo entre a força e a linha que conecta o ponto de rotação ao ponto de aplicação da força.
No nosso caso, o ponto de rotação é o ponto $ O $, a força é $ P = 8,99 , kN $, e a distância $ r $ é o comprimento do guindaste $ L = 23,4 , m $. O ângulo $ \phi $ será ajustado conforme a posição $ x $.
Passo 3
Agora, para encontrar o torque máximo, precisamos maximizar a expressão do torque em relação à posição $ x $. Vamos considerar que $ x $ é a distância horizontal do ponto $ O $ até o ponto onde a força está sendo aplicada.
A altura $ h = 0,669 , m $ nos dá uma informação sobre a posição vertical do ponto $ O $, mas para o torque, vamos focar na componente perpendicular da força.
Vamos expressar $ r $ em termos de $ x $:
E o ângulo $ \phi $ entre $ r $ e $ F $ pode ser encontrado usando a inclinação do guindaste $ \theta $:
Então, substituindo na fórmula do torque:
Sabemos que $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta) $, então:
Passo 4
Para encontrar o torque máximo, vamos derivar $ \tau(x) $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
Isso ocorre quando $ x = 0 $, mas isso não nos dá um torque máximo. Portanto, revisamos nossa abordagem.
Na verdade, o torque é maximizado quando a força está perpendicular ao braço de alavanca. Portanto, o torque máximo ocorre quando:
Resposta
O torque máximo possível em relação ao ponto $ O $ é dado por:
E a posição $ x $ para obter esse torque máximo é quando $ x = L $, ou seja, a força é aplicada na extremidade do guindaste.