Um rolo de papel grande de massa 17 kg e raio R=23 cm está apoiado na parede e um suporte segura ele por uma barra que passa no seu centro. A barra rola sem atrito e sua massa é desprezivel, o momento de inércia do rolo é 0,145 kg. m^2. A outra ponta da barra theta=27^circ. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é muc=0,205. Uma força constante vertical F=40 N é aplicada fazendo o papel desenrolar. Calcule a aceleração angular no rolo. ( g=9,81 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve dinâmica rotacional. A situação é a seguinte: temos um rolo de papel de 17 kg e raio de 23 cm encostado na parede, segurado por uma barra que passa pelo centro do rolo. A barra rola sem atrito e a massa dela é desprezível. A barra está inclinada num ângulo de 27 graus. Sabemos também o coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede, que é 0,205. Além disso, uma força vertical constante de 40 N está puxando o rolo para desenrolar o papel. A gente precisa calcular a aceleração angular desse rolo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de torque, momento de inércia e as leis de Newton para rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que estão agindo no rolo. Temos:
  1. Peso do rolo §: P = m * g, onde m = 17 kg e g = 9,81 m/s².
  2. Força aplicada (F): 40 N, vertical.
  3. Força de atrito (f): que age na direção oposta ao movimento, calculada por f = μc * N, onde μc = 0,205 e N é a força normal.
  4. Força normal (N): que é a força da parede no rolo, perpendicular à parede.

Passo 3

Vamos calcular o peso do rolo:
P = m cdot g = 17 , kg cdot 9,81 , m/s² = 166,77 , N ²

Passo 4

Agora, como a barra está inclinada num ângulo de 27°, a força aplicada de 40 N tem duas componentes: uma horizontal (Fₓ) e outra vertical (Fᵧ). Vamos decompor a força:
Fₓ = F cdot cos(theta) = 40 , N cdot cos(27°)
Fᵧ = F cdot sin(theta) = 40 , N cdot sin(27°)
Calculando:
Fₓ ≈ 40 cdot 0,8910 ≈ 35,64 , N
Fᵧ ≈ 40 cdot 0,4540 ≈ 18,16 , N

Passo 5

A força normal (N) é equilibrada pelas forças verticais. Temos:
N + Fᵧ = P
N = P - Fᵧ = 166,77 , N - 18,16 , N = 148,61 , N

Passo 6

Agora, calculamos a força de atrito (f):
f = muc cdot N = 0,205 cdot 148,61 , N ≈ 30,50 , N

Passo 7

A força resultante que causa o torque é a diferença entre a componente horizontal da força aplicada e a força de atrito:
Fres = Fₓ - f = 35,64 , N - 30,50 , N = 5,14 , N

Passo 8

Agora, vamos calcular o torque (τ) causado por essa força. O torque é dado por:
tau = Fres cdot R
Onde R é o raio do rolo:
R = 23 , cm = 0,23 , m
Então:
tau = 5,14 , N cdot 0,23 , m ≈ 1,18 , N·m

Passo 9

Sabemos que o torque também é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
tau = I cdot alpha
Queremos encontrar α:
alpha = tauI = 1,18 , N·m0,145 , kg·m² ≈ 8,14 , rad/s² ²²

Resposta

A aceleração angular no rolo é aproximadamente 8,14 rad/s².

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