Um rolo de papel grande de massa 17 kg e raio
está apoiado na parede e um suporte segura ele por uma barra que passa no seu centro. A barra rola sem atrito e sua massa é desprezivel, o momento de inércia do rolo é
.
. A outra ponta da barra
. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é
. Uma força constante vertical
é aplicada fazendo o papel desenrolar. Calcule a aceleração angular no rolo. (
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve dinâmica rotacional. A situação é a seguinte: temos um rolo de papel de 17 kg e raio de 23 cm encostado na parede, segurado por uma barra que passa pelo centro do rolo. A barra rola sem atrito e a massa dela é desprezível. A barra está inclinada num ângulo de 27 graus. Sabemos também o coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede, que é 0,205. Além disso, uma força vertical constante de 40 N está puxando o rolo para desenrolar o papel. A gente precisa calcular a aceleração angular desse rolo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de torque, momento de inércia e as leis de Newton para rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que estão agindo no rolo. Temos:
- Peso do rolo §: P = m * g, onde m = 17 kg e g = 9,81 m/s².
- Força aplicada (F): 40 N, vertical.
- Força de atrito (f): que age na direção oposta ao movimento, calculada por f = μc * N, onde μc = 0,205 e N é a força normal.
- Força normal (N): que é a força da parede no rolo, perpendicular à parede.
Passo 3
Vamos calcular o peso do rolo:
Passo 4
Agora, como a barra está inclinada num ângulo de 27°, a força aplicada de 40 N tem duas componentes: uma horizontal (Fₓ) e outra vertical (Fᵧ). Vamos decompor a força:
Calculando:
Passo 5
A força normal (N) é equilibrada pelas forças verticais. Temos:
Passo 6
Agora, calculamos a força de atrito (f):
Passo 7
A força resultante que causa o torque é a diferença entre a componente horizontal da força aplicada e a força de atrito:
Passo 8
Agora, vamos calcular o torque (τ) causado por essa força. O torque é dado por:
Onde R é o raio do rolo:
Então:
Passo 9
Sabemos que o torque também é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
Queremos encontrar α:
Resposta
A aceleração angular no rolo é aproximadamente 8,14 rad/s².