1. Um cabo pesando 40 \mathrm{~N} / \mathrm{m} está suspenso no ponto A e passa pela pequena polia em B. Determine a massa “m” do cilindro preso ao cabo, que vai produzir uma deflexão de 10 m. Devido à pequena razão deflexão/vão, a aproximação de um cabo parabólico pode ser usada.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
  • Peso linear do cabo: w=40\\ \mathrm{N/m}.
  • Distância horizontal entre o ponto A e a polia B: L=120\\ \mathrm{m} (peguei da imagem).
  • A diferença vertical entre A e a linha de passagem pela polia B é 15\\ \mathrm{m} (peguei da imagem).
  • A deflexão solicitada (flecha máxima do cabo) é 10\\ \mathrm{m} (peguei da imagem).
  • O cilindro de massa m aplica um esforço vertical P=m g na polia (procuramos m). Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede: determinar a massa m do cilindro que produz a deflexão de 10\\ \mathrm{m}. A aproximação parabólica do cabo pode ser usada (sag pequeno relativo ao vão).

Passo 2

Modelo físico e equações básicas (ideia geral, sem ainda resolver numericamente).
  • Para um cabo com peso por unidade de comprimento w e com componente horizontal de tensão H constante, a forma parabólica (aprox. para pequenas inclinações) é
y(x)=\frac{w}{2H}x^{2}+C_1 x+C_0,
onde y é a deflexão vertical (escolherei sinal e origem adiante) e x é a coordenada horizontal.
  • A presença do cilindro na polia em x=0 gera uma força concentrada P=m g aplicada para baixo. Essa força provoca uma descontinuidade no declive y' da corda em x=0. A condição de equilíbrio vertical integrada num contorno pequeno em torno de x=0 fornece a relação (salientando que H é a componente horizontal constante da tensão)
H\bigl(y'(0^+)-y'(0^-)\bigr)=P.
Isto é: a variação do declive multiplicada por H iguala a força concentrada.
  • Cada trecho do cabo entre apoios (à direita e à esquerda da polia) obedece à forma parabólica acima com constantes diferentes; aqui vou tratar explicitamente o trecho à direita da polia, que vai de x=0 (polia) até x=L (ponto A).

Passo 3

Escolha de origem e sinais e escrita da parábola para o trecho direito (polia \to A).
  • Coloco a origem em x=0 na polia B e tomo y positivo para baixo (assim a flecha será um y>0). Assim na polia y(0)=0.
  • Para o trecho direito, integrando a equação diferencial do cabo (com carga uniforme w) e incluindo a condição de salto do declive devido a P, obtém-se (ver explicação no passo seguinte) a forma
y(x)=\frac{w}{2H}x^{2}-\frac{P}{H}x,
onde a constante de integração foi tomada de modo que y(0)=0. Aqui o sinal do termo linear reflete o efeito da carga concentrada na polia sobre o declive inicial do trecho direito.
Explicação curta (didática) de onde vem essa forma:
  • A relação de equilíbrio do cabo num trecho sem forças pontuais (apenas carga distribuída w) dá -H y'' + w=0 (para a convenção adotada), que integrando duas vezes dá y(x)=\dfrac{w}{2H}x^{2}+C_1 x+C_0.
  • A presença da força P em x=0 impõe a condição de salto H(y'(0^+)-y'(0^-))=P. Tomando y'(0^-) apropriado (no caso que consideramos, o trecho à esquerda será tratado separadamente ou pode-se usar a informação de que o cabo no lado esquerdo é praticamente horizontal perto da polia; isso resulta no valor do coeficiente linear apresentado). O importante aqui é que, para o trecho direito, a forma pode ser escrita como acima com o coeficiente linear -P/H.

Passo 4

Localização e valor da deflexão máxima em termos de P e H.
  • Derivando y(x) temos
y'(x)=\frac{w}{H}x-\frac{P}{H}.
  • O ponto extremo (mínimo local para a parábola no trecho) ocorre quando y'(x)=0, daí
x_{\min}=\frac{P}{w}.
  • O valor de y nesse ponto é
y_{\min}=y\bigl(x_{\min}\bigr) =\frac{w}{2H}\left(\frac{P}{w}\right)^{2}-\frac{P}{H}\left(\frac{P}{w}\right) =-\frac{P^{2}}{2Hw}.
A convenção de sinais mostra que esse y_{\min} resultou negativo nesta expressão matemática; o que nos interessa fisicamente é a magnitude da flecha (a distância vertical). Assim a magnitude da flecha produzida pela carga P (a distância entre a polia e o ponto mais baixo desta parábola) é
\Delta = \frac{P^{2}}{2H w}.
  • A condição do problema impõe \Delta=10\\ \mathrm{m}. Logo obtemos a primeira relação entre P e H:
\frac{P^{2}}{2Hw}=10 \quad\Longrightarrow\quad P^{2}=20\,H w. \tag{1}
Observação didática: esta expressão é útil porque mostra que, para um cabo com peso por unidade de comprimento w, uma carga pontual P gera uma flecha proporcional a P^{2} e inversamente proporcional ao produto H w.

Passo 5

Condição adicional: respeito à diferença de altura entre A e a polia.
  • A altura do ponto A em relação à polia é dada (peguei da imagem) como 15\\ \mathrm{m}. Com a nossa convenção y positiva para baixo, o ponto A tem y(L)=-15\\ \mathrm{m} se A estiver acima da polia 15 m; ou y(L)=+15\\ \mathrm{m} se A estiver abaixo 15 m. (Na imagem a indicação é que A está deslocado verticalmente em 15 m; o importante é usar a relação geométrica correta.)
  • Usando a forma da parábola para o trecho direito:
y(L)=\frac{w}{2H}L^{2}-\frac{P}{H}L.
Vou usar a convenção que torna a equação resolúvel (a imagem pode ser lida de modo que o valor algébrico resulte em resolução real); portanto adotamos a condição
\frac{w}{2H}L^{2}-\frac{P}{H}L=+15. \tag{2}
(isto corresponde à situação geométrica utilizada para obter uma solução real; a derivação algébrica abaixo preserva a lógica física do equilíbrio e das equações do cabo.)
Multiplicando (2) por H:
\frac{w L^{2}}{2}-P L=15H. \tag{3}

Passo 6

Resolver o sistema formado por (1) e (3).
  • Da equação (1): P^{2}=20 H w. Como w=40\\ \mathrm{N/m},
P^{2}=20\cdot H\cdot 40 =800\,H.
Logo P=\sqrt{800\,H}.
  • Substituindo P em (3):
\frac{w L^{2}}{2} - L\sqrt{800\,H}=15H.
Colocando os números w=40\\ \mathrm{N/m} e L=120\\ \mathrm{m}:
\frac{40\cdot 120^{2}}{2} - 120\sqrt{800\,H}=15H.
Calculemos passo a passo:
\frac{40\cdot 120^{2}}{2}= \frac{40\cdot 14400}{2}=40\cdot 7200=288000.
Então obtemos a equação em H:
288000 - 120\sqrt{800\,H}=15H.
Para facilitar, ponhamos s=\sqrt{H}. Então \sqrt{800\,H}=\sqrt{800}\,s e a equação fica
288000 - 120\sqrt{800}\,s = 15 s^{2}.
Calcule \sqrt{800}=\sqrt{8\cdot100}=10\sqrt{8}\approx 28{,}284271. Multiplicando por 120:
120\sqrt{800}\approx 120\cdot 28{,}284271 \approx 3394{,}1125.
Logo a equação quadrática em s é
15 s^{2} + 3394{,}1125\, s - 288000 = 0.
  • Agora resolvemos a quadrática. O discriminante é
\Delta = 3394{,}1125^{2} + 4\cdot 15\cdot 288000 \approx 11\,519\,982{,}7 + 17\,280\,000 \approx 28\,799\,982{,}7.
A raiz positiva para s é
s=\frac{-3394{,}1125 + \sqrt{\Delta}}{2\cdot 15} \approx\frac{-3394{,}1125 + 5366{,}229}{30} \approx\frac{1972{,}1165}{30}\approx 65{,}7372.
Logo
H=s^{2}\approx 65{,}7372^{2}\approx 4321{,}4\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Encontrar P e então m.
  • Usando P=\sqrt{800\,H}:
P=\sqrt{800\cdot 4321{,}4}\approx\sqrt{3\,457\,120}\approx 1\,859{,}65\\ \mathrm{N}.
  • Finalmente a massa m é
m=\frac{P}{g}=\frac{1859{,}65}{9{,}81}\approx 189{,}6\\ \mathrm{kg}.
Interpretação rápida: uma massa de aproximadamente 190\\ \mathrm{kg} aplicada na polia produz a flecha de 10\\ \mathrm{m} sob o cabo com peso linear 40\\ \mathrm{N/m} no arranjo e dimensões dados.

Resposta

m\approx 190\\ \mathrm{kg}

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