O cabo está sujeito a um carregamento uniforme de w=250 \mathrm{lb} / pé. Determine as traçōes máxima e mínima sobre ele.

Passo 1

O enunciado nos dá que o cabo está sujeito a um carregamento uniforme de w=250\\ \mathrm{lb/ft} e pede para determinar as trações (tensões) máxima e mínima sobre o cabo.
Informações fornecidas: w=250\\ \mathrm{lb/ft}.
Informações que NÃO foram fornecidas (mas são essenciais): o vão (comprimento horizontal entre os apoios) L e a flecha (sag) máxima f ou, alternativamente, a componente horizontal da tração H. Também não foi enviada a figura do problema, então não sabemos se a carga é uniformemente distribuída por projeção horizontal ou por comprimento do cabo (isso muda o modelo).
Conclusão do Passo 1: com apenas w não é possível obter valores numéricos para as trações máxima e mínima; preciso de L e f (ou H). A partir daqui vou explicar didaticamente como se resolve o problema quando esses dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Qual modelo usar e por quê (explicação didática e conceitual).
  • Dois tipos comuns de carregamento em cabos: carga uniforme por projeção horizontal (isto é, w em \mathrm{lb/ft} ao longo da horizontal) ou carga uniforme por comprimento de cabo (peso do cabo por unidade de comprimento de arco). O enunciado que dá w=250\\ \mathrm{lb/ft} normalmente refere-se a carga uniforme por projeção horizontal — esse é o caso mais usual em problemas de vigas/cabos com carga distribuída verticalmente.
  • Para carga uniforme por projeção horizontal, a forma do cabo é bem aproximada por uma parábola. Esse modelo leva a fórmulas simples e muito usadas em provas: a componente horizontal da tração H é constante ao longo do cabo; a componente vertical da tração varia linearmente com a posição; a tração total T(x) é a combinação vetorial de H e da componente vertical V(x).

Passo 3

Definições e coordenadas (para montar as fórmulas).
  • Coloco a origem x=0 no meio do vão (meio do cabo). O vão total é L, então os apoios estão em x=\pm L/2.
  • w é a carga por unidade de comprimento horizontal (no seu enunciado w=250\\ \mathrm{lb/ft}).
  • H é a componente horizontal da tração (constante ao longo do cabo).
  • V(x) é a componente vertical da tração em x. Pelo equilíbrio vertical temos (com V(0)=0 no meio):
V(x)=w x.
Isto vem de somar as forças verticais à esquerda de uma seção até x: a carga total vertical é w x, que deve ser balanceada pela componente vertical da tensão.

Passo 4

Forma da parábola e relação entre H, L e a flecha f.
  • A inclinação do cabo é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{V(x)}{H}=\dfrac{w x}{H}. Integrando e usando y(0)=0 obtém-se a equação parabólica
y(x)=\dfrac{w x^{2}}{2H}.
  • A flecha máxima f ocorre no meio (em x=0 a altura é mínima, mas tomando referência de apoios para baixo, convencionamos f=y(L/2)). Avaliando em x=L/2:
f = y\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=\dfrac{w}{2H}\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}=\dfrac{w L^{2}}{8H}.
  • Isolando H em função de w, L e f:
H=\dfrac{w L^{2}}{8f}.
Explicação: esta fórmula é muito importante porque relaciona a componente horizontal da tração (uma quantidade que aparece naturalmente nas expressões das tensões) com as dimensões geométricas do cabo e a carga.

Passo 5

Expressão para a tração ao longo do cabo e identificação do máximo e mínimo.
  • A tração total em uma seção x é a soma vetorial das componentes H e V(x), portanto:
T(x)=\sqrt{H^{2}+V(x)^{2}}=\sqrt{H^{2}+\bigl(w x\bigr)^{2}}.
  • Mínimo da tração: no meio x=0 temos V(0)=0, logo
T_{\min}=T(0)=H.
Isto faz sentido físico: no ponto de maior flecha (meio) a componente vertical é zero (simetria) e a tração é puramente horizontal.
  • Máximo da tração: nos apoios x=\pm L/2 a componente vertical tem magnitude V\!\bigl(L/2\bigr)=w L/2, logo
T_{\max}=T\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=\sqrt{H^{2}+\left(w\frac{L}{2}\right)^{2}}.

Passo 6

Colocar tudo em função de w, L e f (para quando quiser calcular numericamente). Substituindo H=\dfrac{w L^{2}}{8f} nas expressões:
  • Tração mínima (no meio):
T_{\min}=H=\dfrac{w L^{2}}{8f}.
  • Tração máxima (no apoio):
T_{\max}=\sqrt{\left(\dfrac{w L^{2}}{8f}\right)^{2}+\left(w\frac{L}{2}\right)^{2}}.
Uma forma mais compacta (fatorando wL/2) é
T_{\max}=\left(w\frac{L}{2}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{L}{4f}\right)^{2}}.
Explicação prática: se você souber L e f (ou souber H diretamente), basta substituir nessas fórmulas para obter os valores numéricos. Note que w deve ser a carga por unidade horizontal — se o problema quiser que w seja por comprimento do cabo, o modelo e as fórmulas seriam diferentes (catenária) e bem mais complicados.

Passo 7

Porque eu não dei números finais mesmo com w conhecido.
  • Você me passou só w=250\\ \mathrm{lb/ft}. Para obter valores numéricos de T_{\max} e T_{\min} é necessário também L e f (ou H). Sem esses dados não há como dar números.
  • Quando você tiver o valor do vão L e da flecha f (ou do H), volte aqui ou substitua diretamente nas fórmulas do Passo 6 e eu te mostro passo a passo a conta numérica (faço as contas “mastigadas” pra prova).

Resposta

Não é possível determinar numericamente T_{\max} e T_{\min} porque faltam o vão L e a flecha f (ou a componente horizontal H). Em termos das variáveis, assumindo carga uniforme por projeção horizontal w, temos:
T_{\min}=H=\dfrac{w L^{2}}{8f},
T_{\max}=\sqrt{\left(\dfrac{w L^{2}}{8f}\right)^{2}+\left(w\frac{L}{2}\right)^{2}}=\left(w\frac{L}{2}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{L}{4f}\right)^{2}}.

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