O cabo está sujeito a um carregamento uniforme de
pé. Determine as traçōes máxima e mínima sobre ele.
Passo 1
O enunciado nos dá que o cabo está sujeito a um carregamento uniforme de
e pede para determinar as trações (tensões) máxima e mínima sobre o cabo.
Informações fornecidas: .
Informações que NÃO foram fornecidas (mas são essenciais): o vão (comprimento horizontal entre os apoios) e a flecha (sag) máxima
ou, alternativamente, a componente horizontal da tração
. Também não foi enviada a figura do problema, então não sabemos se a carga é uniformemente distribuída por projeção horizontal ou por comprimento do cabo (isso muda o modelo).
Conclusão do Passo 1: com apenas não é possível obter valores numéricos para as trações máxima e mínima; preciso de
e
(ou
). A partir daqui vou explicar didaticamente como se resolve o problema quando esses dados estiverem disponíveis.
Informações fornecidas:
Informações que NÃO foram fornecidas (mas são essenciais): o vão (comprimento horizontal entre os apoios)
Conclusão do Passo 1: com apenas
Passo 2
Qual modelo usar e por quê (explicação didática e conceitual).
- Dois tipos comuns de carregamento em cabos: carga uniforme por projeção horizontal (isto é,
em ao longo da horizontal) ou carga uniforme por comprimento de cabo (peso do cabo por unidade de comprimento de arco). O enunciado que dá normalmente refere-se a carga uniforme por projeção horizontal — esse é o caso mais usual em problemas de vigas/cabos com carga distribuída verticalmente. - Para carga uniforme por projeção horizontal, a forma do cabo é bem aproximada por uma parábola. Esse modelo leva a fórmulas simples e muito usadas em provas: a componente horizontal da tração
é constante ao longo do cabo; a componente vertical da tração varia linearmente com a posição; a tração total é a combinação vetorial de e da componente vertical .
Passo 3
Definições e coordenadas (para montar as fórmulas).
- Coloco a origem
no meio do vão (meio do cabo). O vão total é , então os apoios estão em . -
é a carga por unidade de comprimento horizontal (no seu enunciado ). -
é a componente horizontal da tração (constante ao longo do cabo). -
é a componente vertical da tração em . Pelo equilíbrio vertical temos (com no meio):
Isto vem de somar as forças verticais à esquerda de uma seção até
: a carga total vertical é
, que deve ser balanceada pela componente vertical da tensão.
Passo 4
Forma da parábola e relação entre
,
e a flecha
.
- A inclinação do cabo é dada por
. Integrando e usando obtém-se a equação parabólica
- A flecha máxima
ocorre no meio (em a altura é mínima, mas tomando referência de apoios para baixo, convencionamos ). Avaliando em :
- Isolando
em função de , e :
Explicação: esta fórmula é muito importante porque relaciona a componente horizontal da tração (uma quantidade que aparece naturalmente nas expressões das tensões) com as dimensões geométricas do cabo e a carga.
Passo 5
Expressão para a tração ao longo do cabo e identificação do máximo e mínimo.
- A tração total em uma seção
é a soma vetorial das componentes e , portanto:
- Mínimo da tração: no meio
temos , logo
Isto faz sentido físico: no ponto de maior flecha (meio) a componente vertical é zero (simetria) e a tração é puramente horizontal.
- Máximo da tração: nos apoios
a componente vertical tem magnitude , logo
Passo 6
Colocar tudo em função de
,
e
(para quando quiser calcular numericamente). Substituindo
nas expressões:
- Tração mínima (no meio):
- Tração máxima (no apoio):
Uma forma mais compacta (fatorando
) é
Explicação prática: se você souber
e
(ou souber
diretamente), basta substituir nessas fórmulas para obter os valores numéricos. Note que
deve ser a carga por unidade horizontal — se o problema quiser que
seja por comprimento do cabo, o modelo e as fórmulas seriam diferentes (catenária) e bem mais complicados.
Passo 7
Porque eu não dei números finais mesmo com
conhecido.
- Você me passou só
. Para obter valores numéricos de e é necessário também e (ou ). Sem esses dados não há como dar números. - Quando você tiver o valor do vão
e da flecha (ou do ), volte aqui ou substitua diretamente nas fórmulas do Passo 6 e eu te mostro passo a passo a conta numérica (faço as contas “mastigadas” pra prova).
Resposta
Não é possível determinar numericamente
e
porque faltam o vão
e a flecha
(ou a componente horizontal
). Em termos das variáveis, assumindo carga uniforme por projeção horizontal
, temos: