Prove que se A,+, \bullet é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x, y, z \in A :
(-x) \cdot(-y)=x \cdot y

Passo 1

O enunciado pede que provemos a identidade
(-x)\cdot(-y)=x\cdot y
para quaisquer elementos x,y,z\in A, onde A,+,\bullet é um anel qualquer. As informações relevantes que o enunciado fornece (ou que valem em qualquer anel) e que usaremos são:
  • (A,+) é um grupo abeliano, logo existe um elemento neutro aditivo \,0 e para cada a\in A existe um inverso aditivo -a tal que a+(-a)=0.
  • A multiplicação \bullet é distributiva em relação à adição: para todos a,b,c\in A,
a\bullet(b+c)=a\bullet b + a\bullet c
e
(a+b)\bullet c = a\bullet c + b\bullet c.
  • A multiplicação é associativa (se for parte da definição do anel que você usa) — não precisaremos assumir elemento neutro multiplicativo.
    Não começarei a resolver aqui; apenas listei o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Provaremos primeiro um fato simples e útil: para todo a\in A vale
a\bullet 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0\bullet a = 0.
Explicação didática: como 0+0=0, se multiplicarmos pela esquerda por a e usarmos a distributividade, obtemos
a\bullet(0+0)=a\bullet 0 + a\bullet 0.
O lado esquerdo é a\bullet 0, porque 0+0=0. Assim
a\bullet 0 = a\bullet 0 + a\bullet 0.
Agora, subtrair a\bullet 0 dos dois lados (ou, de forma mais formal, somar o inverso aditivo de a\bullet 0 a ambos os lados) mostra que o segundo termo precisa ser o neutro aditivo:
a\bullet 0 + \bigl(-(a\bullet 0)\bigr) = \bigl(a\bullet 0 + a\bullet 0\bigr) + \bigl(-(a\bullet 0)\bigr).
O lado esquerdo vira 0 e do lado direito sobram a\bullet 0. Logo a\bullet 0 = 0. A prova de 0\bullet a = 0 é análoga usando distributividade pela direita. Isso nos dá uma ferramenta para zerar certos termos quando aparecerem.

Passo 3

Mostraremos agora que, para quaisquer a,b\in A,
a\bullet(-b)=-(a\bullet b)\quad\text{e}\quad(-a)\bullet b=-(a\bullet b).
Explicação passo a passo: use que b+(-b)=0. Multiplicando à esquerda por a e aplicando distributividade temos
a\bullet\bigl(b+(-b)\bigr)=a\bullet b + a\bullet(-b).
O lado esquerdo é a\bullet 0, que pelo Passo 2 vale 0. Assim
0 = a\bullet b + a\bullet(-b).
Isto diz que a\bullet(-b) é o inverso aditivo de a\bullet b. Mas o inverso aditivo de a\bullet b é exatamente -(a\bullet b). Portanto
a\bullet(-b)=-(a\bullet b).
A prova de (-a)\bullet b=-(a\bullet b) é idêntica, multiplicando a+(-a)=0 pela direita por b.
Comentário didático: a ideia é simples — multiplicar por um elemento que soma com outro para dar zero transforma somas em somas de quatro termos; aí usamos que multiplicar por zero dá zero e identificamos qual termo é inverso aditivo do produto original.

Passo 4

Agora aplicamos tudo para mostrar a identidade buscada. Observe que x+(-x)=0 e y+(-y)=0. Multiplicando essas igualdades (pela esquerda e pela direita) obtemos
\bigl(x+(-x)\bigr)\bullet\bigl(y+(-y)\bigr)=0\bullet 0.
O lado direito 0\bullet 0 vale 0 pelo Passo 2. Pelo lado esquerdo usamos a distributividade duas vezes (expandindo um produto de duas somas):
\bigl(x+(-x)\bigr)\bullet\bigl(y+(-y)\bigr) = x\bullet y + x\bullet(-y) + (-x)\bullet y + (-x)\bullet(-y).
Portanto
x\bullet y + x\bullet(-y) + (-x)\bullet y + (-x)\bullet(-y) = 0.
Agora substituímos as igualdades do Passo 3: x\bullet(-y)=-(x\bullet y) e (-x)\bullet y=-(x\bullet y). Fazendo isso a expressão vira
x\bullet y + \bigl(-(x\bullet y)\bigr) + \bigl(-(x\bullet y)\bigr) + (-x)\bullet(-y) = 0.
Simplifique passo a passo: x\bullet y + (-(x\bullet y)) = 0, então ficamos com
0 + \bigl(-(x\bullet y)\bigr) + (-x)\bullet(-y) = 0,
ou seja
-(x\bullet y) + (-x)\bullet(-y) = 0.
Somando x\bullet y aos dois lados (ou reconhecendo que se u+v=0 então v=-u) obtemos
(-x)\bullet(-y) = x\bullet y.

Passo 5

Resumo da estratégia (rápido e amigável): usamos que multiplicar por zero dá zero, depois provamos que multiplicar um fator por o inverso aditivo do outro produz o inverso aditivo do produto; expandimos (x+(-x))(y+(-y)) e substituímos para concluir que (-x)(-y) é exatamente o mesmo elemento que xy.

Resposta

(-x)\cdot(-y)=x\cdot y

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