Prove que se
é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam
:
Passo 1
O enunciado pede que provemos a identidade
para quaisquer elementos
, onde
é um anel qualquer. As informações relevantes que o enunciado fornece (ou que valem em qualquer anel) e que usaremos são:
-
é um grupo abeliano, logo existe um elemento neutro aditivo e para cada existe um inverso aditivo tal que . - A multiplicação
é distributiva em relação à adição: para todos ,
e
- A multiplicação é associativa (se for parte da definição do anel que você usa) — não precisaremos assumir elemento neutro multiplicativo.
Não começarei a resolver aqui; apenas listei o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Provaremos primeiro um fato simples e útil: para todo
vale
Explicação didática: como
, se multiplicarmos pela esquerda por
e usarmos a distributividade, obtemos
O lado esquerdo é
, porque
. Assim
Agora, subtrair
dos dois lados (ou, de forma mais formal, somar o inverso aditivo de
a ambos os lados) mostra que o segundo termo precisa ser o neutro aditivo:
O lado esquerdo vira
e do lado direito sobram
. Logo
. A prova de
é análoga usando distributividade pela direita. Isso nos dá uma ferramenta para zerar certos termos quando aparecerem.
Passo 3
Mostraremos agora que, para quaisquer
,
Explicação passo a passo: use que
. Multiplicando à esquerda por
e aplicando distributividade temos
O lado esquerdo é
, que pelo Passo 2 vale
. Assim
Isto diz que
é o inverso aditivo de
. Mas o inverso aditivo de
é exatamente
. Portanto
A prova de
é idêntica, multiplicando
pela direita por
.
Comentário didático: a ideia é simples — multiplicar por um elemento que soma com outro para dar zero transforma somas em somas de quatro termos; aí usamos que multiplicar por zero dá zero e identificamos qual termo é inverso aditivo do produto original.
Passo 4
Agora aplicamos tudo para mostrar a identidade buscada. Observe que
e
. Multiplicando essas igualdades (pela esquerda e pela direita) obtemos
O lado direito
vale
pelo Passo 2. Pelo lado esquerdo usamos a distributividade duas vezes (expandindo um produto de duas somas):
Portanto
Agora substituímos as igualdades do Passo 3:
e
. Fazendo isso a expressão vira
Simplifique passo a passo:
, então ficamos com
ou seja
Somando
aos dois lados (ou reconhecendo que se
então
) obtemos
Passo 5
Resumo da estratégia (rápido e amigável): usamos que multiplicar por zero dá zero, depois provamos que multiplicar um fator por o inverso aditivo do outro produz o inverso aditivo do produto; expandimos
e substituímos para concluir que
é exatamente o mesmo elemento que
.