Prove que se A,+, \bullet é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x, y, z \in A :
mais ainda se \exists 1 \in A então,
(-1) \cdot(-1)=1

Passo 1

O enunciado dá que A com as operações + e \bullet é um anel qualquer e que x,y,z\in A são elementos arbitrários. Pede para provar propriedades usuais de anéis (válidas para quaisquer x,y,z\in A) e, adicionalmente, que se existir 1\in A então (-1)\bullet(-1)=1.
As propriedades que vou demonstrar, uma a uma, são:
  1. 0\bullet x=0 e x\bullet 0=0.
  2. (-x)\bullet y=-(x\bullet y) e x\bullet(-y)=-(x\bullet y).
  3. (-x)\bullet(-y)=x\bullet y.
  4. Se existe 1\in A então (-1)\bullet(-1)=1.
Aqui 0 é o elemento neutro aditivo de A e -x é o inverso aditivo de x (que existem por definição de anel). Não vamos usar nenhuma hipótese além dos axiomas de anel: (A,+) é grupo abeliano, \bullet é associativa e distributiva em relação a +.

Passo 2

Prova de 0\bullet x=0.
Começo lembrando que 0 é o elemento tal que 0+0=0. Use a distributividade à esquerda:
(0+0)\bullet x = 0\bullet x + 0\bullet x.
Mas 0+0=0, então a igualdade acima dá
0\bullet x = 0\bullet x + 0\bullet x.
Agora subtraio (isto é, somo o inverso aditivo de) 0\bullet x em ambos os lados. Explico esse passo: no grupo aditivo (A,+) cada elemento a tem um inverso -a tal que a+(-a)=0; somar o mesmo elemento em ambos os membros preserva a igualdade. Somando -0\bullet x aos dois lados:
0\bullet x + (-0\bullet x) = (0\bullet x + 0\bullet x) + (-0\bullet x).
No lado esquerdo fica 0. No lado direito, por associatividade e cancelamento, fica 0\bullet x. Portanto 0=0\bullet x. Concluímos:
0\bullet x = 0.

Passo 3

Prova de x\bullet 0=0.
É exatamente o análogo anterior usando a distributividade à direita. Escrevemos
x\bullet(0+0) = x\bullet 0 + x\bullet 0.
Como 0+0=0, obtemos
x\bullet 0 = x\bullet 0 + x\bullet 0.
Somando o inverso aditivo de x\bullet 0 em ambos os lados, pela mesma razão do passo anterior, concluímos x\bullet 0=0.

Passo 4

Prova de (-x)\bullet y = -(x\bullet y).
Use que x+(-x)=0 e a distributividade pela esquerda:
(x+(-x))\bullet y = x\bullet y + (-x)\bullet y.
O lado esquerdo é 0\bullet y, que já provamos ser 0. Assim
0 = x\bullet y + (-x)\bullet y.
Isto diz exatamente que (-x)\bullet y é o inverso aditivo de x\bullet y. Pelo caráter único do inverso aditivo, concluímos
(-x)\bullet y = -(x\bullet y).

Passo 5

Prova de x\bullet(-y) = -(x\bullet y).
Analogamente ao passo anterior, agora use y+(-y)=0 e a distributividade à direita:
x\bullet(y+(-y)) = x\bullet y + x\bullet(-y).
O lado esquerdo é x\bullet 0=0, então
0 = x\bullet y + x\bullet(-y).
Logo x\bullet(-y) é o inverso aditivo de x\bullet y, isto é
x\bullet(-y) = -(x\bullet y).

Passo 6

Prova de (-x)\bullet(-y)=x\bullet y.
Agora uso os resultados dos passos 4 e 5 em cadeia. Começo por aplicar o passo 4 com x e -y no lugar de y:
(-x)\bullet(-y) = -(x\bullet(-y)).
Mas pelo passo 5 temos x\bullet(-y)=-(x\bullet y). Substituindo,
(-x)\bullet(-y) = -\big(-(x\bullet y)\big).
Falta apenas observar que o inverso aditivo do inverso aditivo retorna o elemento original: para qualquer a\in A temos -(-a)=a. (Prova rápida: a+(-a)=0. Multiplicando por -1 mentalmente não é necessário; raciocinamos: -a é o único elemento cuja soma com a 0, portanto o inverso aditivo de -a é a, ou seja -(-a)=a.) Aplicando isso com a=x\bullet y obtemos
-(-(x\bullet y)) = x\bullet y.
Portanto
(-x)\bullet(-y) = x\bullet y.

Passo 7

Prova de (-1)\bullet(-1)=1, quando existe 1\in A.
Como já provamos a propriedade geral do passo 6 para quaisquer elementos, basta aplicar com x=1 e y=1. Assim
(-1)\bullet(-1) = 1\bullet 1.
Mas 1 é o neutro multiplicativo, então 1\bullet 1=1. Concluímos
(-1)\bullet(-1)=1.

Resposta

0\bullet x = 0 e x\bullet 0 = 0
(-x)\bullet y = -(x\bullet y) e x\bullet(-y)=-(x\bullet y)
(-x)\bullet(-y)=x\bullet y
Se existe 1\in A então (-1)\bullet(-1)=1

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