Prove que se
é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam
:
mais ainda se
então,
mais ainda se
Passo 1
O enunciado dá que
com as operações
e
é um anel qualquer e que
são elementos arbitrários. Pede para provar propriedades usuais de anéis (válidas para quaisquer
) e, adicionalmente, que se existir
então
.
As propriedades que vou demonstrar, uma a uma, são:
-
e . -
e . -
. - Se existe
então .
Aqui
é o elemento neutro aditivo de
e
é o inverso aditivo de
(que existem por definição de anel). Não vamos usar nenhuma hipótese além dos axiomas de anel:
é grupo abeliano,
é associativa e distributiva em relação a
.
Passo 2
Prova de
.
Começo lembrando que
é o elemento tal que
. Use a distributividade à esquerda:
Mas
, então a igualdade acima dá
Agora subtraio (isto é, somo o inverso aditivo de)
em ambos os lados. Explico esse passo: no grupo aditivo
cada elemento
tem um inverso
tal que
; somar o mesmo elemento em ambos os membros preserva a igualdade. Somando
aos dois lados:
No lado esquerdo fica
. No lado direito, por associatividade e cancelamento, fica
. Portanto
. Concluímos:
Passo 3
Prova de
.
É exatamente o análogo anterior usando a distributividade à direita. Escrevemos
Como
, obtemos
Somando o inverso aditivo de
em ambos os lados, pela mesma razão do passo anterior, concluímos
.
Passo 4
Prova de
.
Use que
e a distributividade pela esquerda:
O lado esquerdo é
, que já provamos ser
. Assim
Isto diz exatamente que
é o inverso aditivo de
. Pelo caráter único do inverso aditivo, concluímos
Passo 5
Prova de
.
Analogamente ao passo anterior, agora use
e a distributividade à direita:
O lado esquerdo é
, então
Logo
é o inverso aditivo de
, isto é
Passo 6
Prova de
.
Agora uso os resultados dos passos 4 e 5 em cadeia. Começo por aplicar o passo 4 com
e
no lugar de
:
Mas pelo passo 5 temos
. Substituindo,
Falta apenas observar que o inverso aditivo do inverso aditivo retorna o elemento original: para qualquer
temos
. (Prova rápida:
. Multiplicando por
mentalmente não é necessário; raciocinamos:
é o único elemento cuja soma com
dá
, portanto o inverso aditivo de
é
, ou seja
.) Aplicando isso com
obtemos
Portanto
Passo 7
Prova de
, quando existe
.
Como já provamos a propriedade geral do passo 6 para quaisquer elementos, basta aplicar com
e
. Assim
Mas
é o neutro multiplicativo, então
. Concluímos
Resposta
Se existe