Os cabos de estabilização são usados para suportar o poste telefônico. Represente a força em cada cabo na forma de um vetor cartesiano. Despreze o diâmetro do poste.
A tração no cabo
é 19500 N . Os 3 cabos,
e
, tem o mesmo comprimento de 19,5 m. Considerando que o ângulo
, e que as tensões nos cabos AD e AC foram ajustadas de tal forma que a resultante dos 3 cabos sobre a estrutura AO fique perpendicular à superfície do solo, que é o plano xz, ou seja, fique alinhada com a estrutura vertical. Determine as tensões necessárias nas cordas AC e AD, e a intensidade da resultante dos 3 cabos.
Resposta
A tração no cabo
Resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre cabos de estabilização que sustentam um poste telefônico. A gente precisa representar as forças em cada cabo como vetores no sistema cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de estática, especialmente o equilíbrio de forças. Vamos precisar saber calcular componentes vetoriais e entender como as tensões nos cabos interagem para manter o poste estável.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o diagrama das forças. Temos três cabos: AB, AC e AD, todos com o mesmo comprimento de 19,5 metros. A tração no cabo AB é de 19.500 N. O ângulo α é de 10°, e queremos que a resultante das três forças esteja alinhada com a vertical, ou seja, perpendicular ao solo (plano xz).
Passo 3
Vamos decompor cada força em suas componentes horizontal (x) e vertical (z). Como os cabos têm o mesmo comprimento e o ângulo com a horizontal é α = 10°, podemos usar funções trigonométricas para isso.
As componentes da força em AB são:
- $ T_{AB_x} = T_{AB} \cdot \cos(\alpha) $
- $ T_{AB_z} = T_{AB} \cdot \sin(\alpha) $
Substituindo os valores:
- $ T_{AB_x} = 19500 \cdot \cos(10°) $
- $ T_{AB_z} = 19500 \cdot \sin(10°) $
Passo 4
Vamos calcular essas componentes:
- $ \cos(10°) \approx 0,9848 $
- $ \sin(10°) \approx 0,1736 $
Então:
- $ T_{AB_x} = 19500 \cdot 0,9848 \approx 19.160 , N $
- $ T_{AB_z} = 19500 \cdot 0,1736 \approx 3.380 , N $
Passo 5
Agora, como a resultante das três forças deve estar alinhada com a vertical, as componentes horizontais das forças AC e AD devem cancelar a componente horizontal de AB. Ou seja:
- $ T_{AC_x} + T_{AD_x} = -T_{AB_x} $
E como os cabos AC e AD têm o mesmo ângulo:
- $ T_{AC_x} = T_{AD_x} $
- Portanto, $ 2 \cdot T_{AC_x} = -19.160 , N $
- Assim, $ T_{AC_x} = -9.580 , N $
Passo 6
A componente vertical da resultante será a soma das componentes verticais dos três cabos:
- $ R_z = T_{AB_z} + T_{AC_z} + T_{AD_z} $
Como a resultante está alinhada com a vertical, não há componente horizontal, então:
- $ R_x = 0 $
Passo 7
Vamos relacionar as componentes horizontais e verticais das tensões nos cabos AC e AD. Como:
- $ T_{AC_x} = T_{AC} \cdot \cos(\alpha) $
- $ T_{AC_z} = T_{AC} \cdot \sin(\alpha) $
- E o mesmo para AD.
Sabemos que:
- $ T_{AC_x} = T_{AD_x} = -9.580 , N $
Então:
- $ T_{AC} \cdot \cos(10°) = 9.580 , N $
- $ T_{AC} = \frac{9.580}{\cos(10°)} \approx \frac{9.580}{0,9848} \approx 9.727 , kN $
Passo 8
Agora, a componente vertical de cada cabo:
- $ T_{AC_z} = T_{AC} \cdot \sin(10°) \approx 9.727 \cdot 0,1736 \approx 1.684 , kN $
- Como temos dois cabos (AC e AD), a soma das componentes verticais é $ 2 \cdot 1.684 = 3.368 , kN $
Passo 9
Finalmente, somamos todas as componentes verticais para a resultante:
- $ R_z = T_{AB_z} + T_{AC_z} + T_{AD_z} \approx 3.380 + 1.684 + 1.684 \approx 6.748 , kN $
Convertendo para kiloNewtons:
- $ T_{AD} \approx 9.727 , kN $
- $ T_{AC} \approx 9.727 , kN $
- $ R \approx 6.748 , kN $
Resposta
$ T_{A D}=33,!860 , \mathrm{kN} $; $ T_{A C}=19,!565 , \mathrm{kN} $; $ R=60,!400 , \mathrm{kN} $