Cacule a integral integralegral duplaR yx^2+y^2 d A, onde R é a regiào compreendida entre as círculos x^2+ y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR yx^2+y^2,dA, onde R é a região em que 1<= x^2+y^2<=4. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais em regiões anelares.

Passo 2

Para usar coordenadas polares, fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A função yx^2+y^2 vira rsinthetar^2=sinthetar. Então o integrando completo é
sinthetartimes r,dr,dtheta=sintheta,dr,dtheta

Passo 3

Agora a integral sobre R em polares é
Primeiro integramos em integraltheta=0^2pinintegralr=1^2sintheta,dr,dtheta : isso dá r, ficando
integral1^2dr=2-1=1

Passo 4

Por fim, integral0^2pisintheta,dtheta=[-costheta]0^2pi=-cos(2pi)+cos(0)=-1+1=0. Portanto, a integral vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados