Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=x^3+2 y^2cos (x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \frac{x^{3} + 2 y^{2}}{\cos(x y)} $. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde vamos derivar a função em relação a $ x $ e $ y $ separadamente, mantendo uma variável fixa enquanto derivamos em relação à outra. Para resolver, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
  1. Identificar as partes da fração:
    • Numerador $ u = x^{3} + 2 y^{2} $
    • Denominador $ v = \cos(x y) $
  2. Derivar $ u $ em relação a $ x $:
    f
  3. Derivar $ v $ em relação a $ x $:
    • Usando a regra da cadeia:
    x
  4. Aplicar a regra do quociente:
    partial fpartial x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
  1. Identificar as partes da fração:
    • Numerador $ u = x^{3} + 2 y^{2} $
    • Denominador $ v = \cos(x y) $
  2. Derivar $ u $ em relação a $ y $:
    f
  3. Derivar $ v $ em relação a $ y $:
    • Usando a regra da cadeia:
    y
  4. Aplicar a regra do quociente:
    partial fpartial y

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = 3x^2 cos(x y) + y (x^3 + 2 y^2) sin(x y)cos^2(x y)
e
partial fpartial y = 4 y cos(x y) + x (x^3 + 2 y^2) sin(x y)cos^2(x y)

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