Determine as derivadas parciais das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \frac{x^{3} + 2 y^{2}}{\cos(x y)} $. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde vamos derivar a função em relação a $ x $ e $ y $ separadamente, mantendo uma variável fixa enquanto derivamos em relação à outra. Para resolver, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
-
Identificar as partes da fração:
- Numerador $ u = x^{3} + 2 y^{2} $
- Denominador $ v = \cos(x y) $
-
Derivar $ u $ em relação a $ x $:
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Derivar $ v $ em relação a $ x $:
- Usando a regra da cadeia:
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Aplicar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
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Identificar as partes da fração:
- Numerador $ u = x^{3} + 2 y^{2} $
- Denominador $ v = \cos(x y) $
-
Derivar $ u $ em relação a $ y $:
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Derivar $ v $ em relação a $ y $:
- Usando a regra da cadeia:
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Aplicar a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e