Determine, caso exista, as derivadas parciais da função no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se existem derivadas parciais da função $ f(x, y) $ no ponto $ (0,0) $. A função é definida de duas formas:
Vamos trabalhar com cálculo de derivadas parciais e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $ é definida por:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Vamos calcular essas duas derivadas uma de cada vez.
Passo 3
Vamos calcular $ f_x(0,0) $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
Então,
Então, a derivada parcial em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $ é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f_y(0,0) $. Substituindo $ x = 0 $ na função:
Então,
Aqui, vemos que o limite não existe porque, dependendo de $ k $ se aproxima de 0 por valores positivos ou negativos, o limite tende a $ -\infty $ ou $ +\infty $. Portanto, a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $ não existe.
Resposta
No ponto $ (0,0) $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ existe e é igual a 1, enquanto a derivada parcial em relação a $ y $ não existe.