Determine, caso exista, as derivadas parciais da função no ponto f(x, y)=lllx^3-y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se existem derivadas parciais da função $ f(x, y) $ no ponto $ (0,0) $. A função é definida de duas formas:
f(x, y)
Vamos trabalhar com cálculo de derivadas parciais e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $ é definida por:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x
Vamos calcular essas duas derivadas uma de cada vez.

Passo 3

Vamos calcular $ f_x(0,0) $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
fx(0,0)
Então,
y = 0
Então, a derivada parcial em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $ é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ f_y(0,0) $. Substituindo $ x = 0 $ na função:
fy(0,0)
Então,
x = 0
Aqui, vemos que o limite não existe porque, dependendo de $ k $ se aproxima de 0 por valores positivos ou negativos, o limite tende a $ -\infty $ ou $ +\infty $. Portanto, a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $ não existe.

Resposta

No ponto $ (0,0) $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ existe e é igual a 1, enquanto a derivada parcial em relação a $ y $ não existe.

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