Em cada uma das P.G. abaixo calcule o produto dos n termos iniciais:
(3,-6,12,-24, \ldots) n=25

Passo 1

O enunciado nos dá uma P.G. cujos termos são 3, -6, 12, -24, \ldots e pede o produto dos n=25 primeiros termos. Aqui temos a_1=3 e razão q=\frac{-6}{3}=-2.

Passo 2

Em geral, o k-ésimo termo de uma P.G. é
a_k = a_1\,q^{\,k-1}
e o produto dos n primeiros termos é
P_n = \prod_{k=1}^{n}a_k = \prod_{k=1}^{n}\bigl(a_1\,q^{\,k-1}\bigr) = a_1^n\,q^{\sum_{k=1}^n (k-1)} = a_1^n\,q^{\frac{n(n-1)}{2}}.

Passo 3

Substituindo a_1=3, q=-2 e n=25, vem
P_{25} = 3^{25}\,(-2)^{\frac{25\cdot24}{2}} = 3^{25}\,(-2)^{300}.

Passo 4

Como 300 é par, temos (-2)^{300}=2^{300}. Portanto
P_{25} = 3^{25}\,2^{300}.

Resposta

3^{25}\,2^{300}

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