Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, dê um contraexemplo.
(6 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} uma transformação linear. Se \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} é um conjunto l.i. em \mathbb{R}^{n}, então \left\{T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), T\left(v_{3}\right), T\left(v_{4}\right)\right\} é um conjunto l.i. em \mathbb{R}^{m}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá: uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}.
  • Dá: um conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} que é linearmente independente em \mathbb{R}^{n}.
  • Pergunta: a afirmação "então \{T(v_{1}),T(v_{2}),T(v_{3}),T(v_{4})\} é linearmente independente em \mathbb{R}^{m}" é verdadeira ou falsa?
    Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contraexemplo.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados de forma direta):
  • Definição de independência linear: um conjunto \{w_1,\dots,w_k\} é linearmente independente se, sempre que
a_1 w_1 + \cdots + a_k w_k = 0
com escalares a_i, então todos os a_i são zero. Caso contrário é linearmente dependente.
  • Transformação linear: T é linear se para quaisquer vetores u,v e escalares \alpha,\beta
T(\alpha u + \beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
  • Núcleo e injetividade: o núcleo de T é \ker(T)=\{x\in\mathbb{R}^n: T(x)=0\}. T é injetiva se e só se \ker(T)=\{0\}.
Esses conceitos são os que determinam se independência é preservada por T.

Passo 3

Mostrando que a afirmação é falsa — contraexemplo simples e explícito:
  • Escolhe-se n=4 e m=2 (qualquer escolha com m<n ou com T não injetiva serve).
  • Define T como a transformação nula: para todo x\in\mathbb{R}^4,
T(x)=0.
  • Toma-se o conjunto canônico de quatro vetores independentes em \mathbb{R}^{4}:
v_1=(1,0,0,0),\quad v_2=(0,1,0,0),\quad v_3=(0,0,1,0),\quad v_4=(0,0,0,1).
Esses quatro vetores são linearmente independentes (são a base canônica).
  • Agora calcula-se as imagens:
T(v_1)=0,\quad T(v_2)=0,\quad T(v_3)=0,\quad T(v_4)=0.
  • O conjunto \{0,0,0,0\} é obviamente linearmente dependente, pois, por exemplo,
1\cdot T(v_1)+1\cdot T(v_2)+1\cdot T(v_3)+1\cdot T(v_4)=0
com coeficientes não todos nulos. Portanto as imagens não são linearmente independentes.
Conclusão parcial: a afirmação é falsa em geral — basta uma transformação linear não injetiva (como a transformação nula) para quebrar a independência.

Passo 4

Explicação didática do porquê isso acontece (intuição útil para prova):
  • Se T tem núcleo não-trivial ( \ker(T) contém vetores não nulos), então vetores diferentes podem ser enviados para o mesmo vetor (por exemplo para 0), criando relações lineares entre as imagens. Por isso linearidade por si só não garante preservação de independência: falta injetividade.

Passo 5

Quando a afirmação é verdadeira — condição necessária e suficiente:
  • Resultado importante (útil na prova): se T é injetiva então T preserva independência linear. Prova curta e passo a passo:
    1. Suponha que T é injetiva ( \ker(T)=\{0\}).
    2. Seja \{v_1,\dots,v_k\} um conjunto tal que
    a_1 T(v_1) + \cdots + a_k T(v_k)=0.
    1. Pela linearidade de T,
    T(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k)=0.
    1. Como \ker(T)=\{0\}, isso implica
    a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.
    1. Se os v_i são linearmente independentes, os coeficientes a_i devem ser todos zero. Logo os T(v_i) são linearmente independentes.
  • Assim: injetividade de T é uma condição suficiente para preservar independência. E, de fato, é também necessária no sentido óbvio: se T não é injetiva existe v\neq0 com T(v)=0; extendendo v a um conjunto independente (ou a uma base) produz-se um conjunto independente cujas imagens são dependentes (pois T(v)=0). Portanto preservar independência para todos os conjuntos implica \ker(T)=\{0\}, isto é, injetividade.

Passo 6

Resumo final e dica de prova para a prova da faculdade (como você deveria responder na hora):
  • A afirmação dada é falsa em geral. Um contraexemplo simples é a transformação nula T(x)=0: imagens de um conjunto l.i. podem ser todas zero e assim dependentes.
  • Observação útil para a prova: a propriedade “imagens de todo conjunto l.i. é l.i.” é equivalente a T ser injetiva. Portanto, se na questão houver a hipótese extra " T é injetiva", aí sim a conclusão seria verdadeira — e a prova é curta como mostrei no Passo 5.

Resposta

Falsa.

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