Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, dê um contraexemplo.
(6 pontos) Seja
uma transformação linear. Se
é um conjunto l.i. em
, então
é um conjunto l.i. em
.
(6 pontos) Seja
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá: uma transformação linear
. - Dá: um conjunto
que é linearmente independente em . - Pergunta: a afirmação "então
é linearmente independente em " é verdadeira ou falsa?
Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contraexemplo.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados de forma direta):
- Definição de independência linear: um conjunto
é linearmente independente se, sempre que
com escalares
, então todos os
são zero. Caso contrário é linearmente dependente.
- Transformação linear:
é linear se para quaisquer vetores e escalares
- Núcleo e injetividade: o núcleo de
é . é injetiva se e só se .
Esses conceitos são os que determinam se independência é preservada por
.
Passo 3
Mostrando que a afirmação é falsa — contraexemplo simples e explícito:
- Escolhe-se
e (qualquer escolha com ou com não injetiva serve). - Define
como a transformação nula: para todo ,
- Toma-se o conjunto canônico de quatro vetores independentes em
:
Esses quatro vetores são linearmente independentes (são a base canônica).
- Agora calcula-se as imagens:
- O conjunto
é obviamente linearmente dependente, pois, por exemplo,
com coeficientes não todos nulos. Portanto as imagens não são linearmente independentes.
Conclusão parcial: a afirmação é falsa em geral — basta uma transformação linear não injetiva (como a transformação nula) para quebrar a independência.
Passo 4
Explicação didática do porquê isso acontece (intuição útil para prova):
- Se
tem núcleo não-trivial ( contém vetores não nulos), então vetores diferentes podem ser enviados para o mesmo vetor (por exemplo para ), criando relações lineares entre as imagens. Por isso linearidade por si só não garante preservação de independência: falta injetividade.
Passo 5
Quando a afirmação é verdadeira — condição necessária e suficiente:
- Resultado importante (útil na prova): se
é injetiva então preserva independência linear. Prova curta e passo a passo: - Suponha que
é injetiva ( ). - Seja
um conjunto tal que
- Pela linearidade de
,
- Como
, isso implica
- Se os
são linearmente independentes, os coeficientes devem ser todos zero. Logo os são linearmente independentes.
- Suponha que
- Assim: injetividade de
é uma condição suficiente para preservar independência. E, de fato, é também necessária no sentido óbvio: se não é injetiva existe com ; extendendo a um conjunto independente (ou a uma base) produz-se um conjunto independente cujas imagens são dependentes (pois ). Portanto preservar independência para todos os conjuntos implica , isto é, injetividade.
Passo 6
Resumo final e dica de prova para a prova da faculdade (como você deveria responder na hora):
- A afirmação dada é falsa em geral. Um contraexemplo simples é a transformação nula
: imagens de um conjunto l.i. podem ser todas zero e assim dependentes. - Observação útil para a prova: a propriedade “imagens de todo conjunto l.i. é l.i.” é equivalente a
ser injetiva. Portanto, se na questão houver a hipótese extra " é injetiva", aí sim a conclusão seria verdadeira — e a prova é curta como mostrei no Passo 5.
Resposta
Falsa.