Considere \mathcal{C}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica do \mathbb{R}^{3}, e considere a base \mathcal{B}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, sendo
(a) (20 pontos) Encontre a matriz de mudança de base da base \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C}, e a matriz de mudança de base da base canônica \mathcal{C} para a base \mathcal{B}.
(b) (5 pontos) Encontre as \mathcal{B}-coordenadas do vetor u=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá a base canônica \mathcal{C}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} e a base \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
(a) encontrar a matriz de mudança de base da base \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C} e a matriz de mudança de base da canônica \mathcal{C} para \mathcal{B};
(b) encontrar as coordenadas de u=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} na base \mathcal{B}.
Lista das informações relevantes dadas:
As coordenadas de v_{1},v_{2},v_{3} em relação à base canônica (estas são exatamente os vetores escritos acima).
O vetor u em coordenadas canônicas.
Passo 2
Entender o que significa “matriz de mudança de base” neste contexto:
A matriz que leva coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas em \mathcal{C} (isto é, de \mathcal{B}-coordenadas para coordenadas canônicas) tem como colunas as coordenadas canônicas dos vetores da base \mathcal{B}. Em notação comum chamamos essa matriz de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}. Assim,
A matriz que vai de coordenadas canônicas para coordenadas em \mathcal{B} (ou seja, P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}) é a inversa da que vai de \mathcal{B} para \mathcal{C}. Ou seja,
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível; além disso, como o determinante é 1, a inversa é simplesmente a adjunta (matriz adjugate) de A.]
Passo 5
Cálculo da inversa por adjugate (calcular menores e cofatores, depois transpor):
Para cada posição (i,j) calculamos o menor M_{ij} e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculos dos menores e cofatores (mostrando cada um):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-5 & 2\\[2pt]4 & 3\end{pmatrix}=-23, então C_{11}=(-1)^{2}(-23)=-23.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=-8, então C_{12}=(-1)^{3}(-8)=8.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-2 & -5\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=(-2)\cdot4 -(-5)\cdot1=-8+5=-3, então C_{13}=(-1)^{4}(-3)=-3.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]4 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-0\cdot4=9, então C_{21}=(-1)^{3}9=-9.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-0\cdot1=3, então C_{22}=(-1)^{4}3=3.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot1=1, então C_{23}=(-1)^{5}1=-1.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]-5 & 2\end{pmatrix}=3\cdot2-0\cdot(-5)=6, então C_{31}=(-1)^{4}6=6.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]-2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot(-2)=2, então C_{32}=(-1)^{5}2=-2.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]-2 & -5\end{pmatrix}=1\cdot(-5)-3\cdot(-2)=-5+6=1, então C_{33}=(-1)^{6}1=1.
Explicação curta e intuitiva: a primeira matriz transforma um vetor escrito em coordenadas em \mathcal{B} num vetor em coordenadas canônicas (multiplicando a coluna de coordenadas em \mathcal{B} pelas colunas v_i). A segunda faz o caminho inverso.]
Passo 7
Resolver (b): encontrar as coordenadas [u]_{\mathcal{B}} de u=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Sejam as coordenadas em \mathcal{B} dadas por \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Então