Considere \mathcal{C}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica do \mathbb{R}^{3}, e considere a base \mathcal{B}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, sendo
v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -5 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad v_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right] .
(a) (20 pontos) Encontre a matriz de mudança de base da base \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C}, e a matriz de mudança de base da base canônica \mathcal{C} para a base \mathcal{B}.
(b) (5 pontos) Encontre as \mathcal{B}-coordenadas do vetor u=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a base canônica \mathcal{C}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} e a base \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}3\\\ -5\\\ 4\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • (a) encontrar a matriz de mudança de base da base \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C} e a matriz de mudança de base da canônica \mathcal{C} para \mathcal{B};
  • (b) encontrar as coordenadas de u=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} na base \mathcal{B}.
Lista das informações relevantes dadas:
  • As coordenadas de v_{1},v_{2},v_{3} em relação à base canônica (estas são exatamente os vetores escritos acima).
  • O vetor u em coordenadas canônicas.

Passo 2

Entender o que significa “matriz de mudança de base” neste contexto:
  • A matriz que leva coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas em \mathcal{C} (isto é, de \mathcal{B}-coordenadas para coordenadas canônicas) tem como colunas as coordenadas canônicas dos vetores da base \mathcal{B}. Em notação comum chamamos essa matriz de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}. Assim,
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\big[\,v_{1}\; v_{2}\; v_{3}\,\big],
onde cada v_{i} é escrito como coluna na base canônica.
Construindo explicitamente:
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] -2 & -5 & 2\\[4pt] 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Relação entre as matrizes de mudança de base:
  • A matriz que vai de coordenadas canônicas para coordenadas em \mathcal{B} (ou seja, P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}) é a inversa da que vai de \mathcal{B} para \mathcal{C}. Ou seja,
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=\big(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\big)^{-1}.
Portanto precisamos calcular a inversa de
A:=P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ -2 & -5 & 2\\\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}.
Antes de inverter, calculamos o determinante para confirmar que A é invertível e, se possível, simplificar cálculos.

Passo 4

Cálculo do determinante de A (mostrando contas):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-5 & 2\\[2pt]4 & 3\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}-5 & 2\\[2pt]4 & 3\end{pmatrix}=(-5)\cdot 3 - 2\cdot 4=-15-8=-23,
\det\begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=(-2)\cdot 3 - 2\cdot 1=-6-2=-8.
Logo
\det(A)=1\cdot(-23)-3\cdot(-8)=-23+24=1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível; além disso, como o determinante é 1, a inversa é simplesmente a adjunta (matriz adjugate) de A.]

Passo 5

Cálculo da inversa por adjugate (calcular menores e cofatores, depois transpor):
Para cada posição (i,j) calculamos o menor M_{ij} e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculos dos menores e cofatores (mostrando cada um):
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}-5 & 2\\[2pt]4 & 3\end{pmatrix}=-23, então C_{11}=(-1)^{2}(-23)=-23.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=-8, então C_{12}=(-1)^{3}(-8)=8.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}-2 & -5\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=(-2)\cdot4 -(-5)\cdot1=-8+5=-3, então C_{13}=(-1)^{4}(-3)=-3.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]4 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-0\cdot4=9, então C_{21}=(-1)^{3}9=-9.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-0\cdot1=3, então C_{22}=(-1)^{4}3=3.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot1=1, então C_{23}=(-1)^{5}1=-1.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]-5 & 2\end{pmatrix}=3\cdot2-0\cdot(-5)=6, então C_{31}=(-1)^{4}6=6.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]-2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot(-2)=2, então C_{32}=(-1)^{5}2=-2.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]-2 & -5\end{pmatrix}=1\cdot(-5)-3\cdot(-2)=-5+6=1, então C_{33}=(-1)^{6}1=1.
Matriz dos cofatores:
\begin{pmatrix} -23 & 8 & -3\\[4pt] -9 & 3 & -1\\[4pt] 6 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Adjugate (transposta da matriz dos cofatores):
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -23 & -9 & 6\\[4pt] 8 & 3 & -2\\[4pt] -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, temos
A^{-1}=\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -23 & -9 & 6\\[4pt] 8 & 3 & -2\\[4pt] -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Concluir (a): assim as matrizes de mudança de base são
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] -2 & -5 & 2\\[4pt] 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}, \qquad P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} -23 & -9 & 6\\[4pt] 8 & 3 & -2\\[4pt] -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação curta e intuitiva: a primeira matriz transforma um vetor escrito em coordenadas em \mathcal{B} num vetor em coordenadas canônicas (multiplicando a coluna de coordenadas em \mathcal{B} pelas colunas v_i). A segunda faz o caminho inverso.]

Passo 7

Resolver (b): encontrar as coordenadas [u]_{\mathcal{B}} de u=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Sejam as coordenadas em \mathcal{B} dadas por \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Então
A\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}=u.
Como já temos A^{-1}, basta calcular
\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}=A^{-1}u.
Multiplicando explícito:
A^{-1}= \begin{pmatrix} -23 & -9 & 6\\[4pt] 8 & 3 & -2\\[4pt] -3 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad u=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
a=(-23)(-1)+(-9)(2)+6\cdot 0=23-18=5,
b=8(-1)+3(2)+(-2)\cdot 0=-8+6=-2,
c=-3(-1)+(-1)(2)+1\cdot 0=3-2=1.
Portanto as \mathcal{B}-coordenadas de u são \begin{pmatrix}5\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] -2 & -5 & 2\\[4pt] 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} -23 & -9 & 6\\[4pt] 8 & 3 & -2\\[4pt] -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}
[u]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 5\\[4pt] -2\\[4pt] 1 \end{pmatrix}]

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