Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, dê um contraexemplo.
(6 pontos) Se
, então
é uma base para
.
(6 pontos) Se
Passo 1
O enunciado dá a informação:
.
A afirmação a avaliar é: “ é uma base para
”.
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
A afirmação a avaliar é: “
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
- Se for verdadeira, justificar (mostrar por que sempre vale).
- Se for falsa, fornecer um contraexemplo (um caso concreto em que
mas não é base de ).
Todas as informações relevantes do enunciado já estão listadas acima (nenhuma outra condição é dada sobre os vetores).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “ser uma base” de forma clara e prática (aulas rápidas, calma que eu explico devagar).
- Uma família de vetores
é uma base de um subespaço se e somente se duas condições simultâneas valem:
- os vetores geram
, ou seja (span = ); - os vetores são linearmente independentes.
- “Gerar” (ou “span”) significa: qualquer vetor de
é combinação linear dos . - “Linearmente independentes” significa: a única solução do sistema
é
. Se existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Importante: gerar
(span) não garante, por si só, independência linear. Ambas são necessárias para ser base.
Passo 3
Raciocínio essencial: o enunciado só afirma que os vetores geram
. Falta afirmar a independência linear. Assim, a afirmação “se geram então são base” não é automaticamente verdadeira — é preciso verificar independência. Para mostrar que a afirmação do enunciado é falsa em geral, basta fornecer um contraexemplo em que os vetores geram
mas são linearmente dependentes.
Vou construir um contraexemplo simples em um espaço bem conhecido,
, para ficar bem concreto.
Passo 4
Contraexemplo concreto em
:
Escolha
todos vetores de
.
-
Primeiro, o span desses vetores é
. Explicando: já gera , então adicionar e não reduz o span; portanto o span dos quatro é . -
Agora verificar independência linear: note que
. Então existe uma combinação linear não trivial que dá zero:
Os coeficientes
não são todos nulos, logo os quatro vetores são linearmente dependentes.
Conclusão do contraexemplo: temos
, mas
não é uma base de
porque falha a independência linear. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Passo 5
Observação útil para a prova (como reconhecer quando a afirmação seria verdadeira): se além de
soubermos que
, então a afirmação passa a ser verdadeira. Explicação rápida: num espaço de dimensão
, qualquer conjunto de
vetores que gere o espaço é necessariamente linearmente independente (um teorema padrão de espaços vetoriais finito-dimensionais), logo esses
vetores formam uma base. Portanto a hipótese extra “
” ou a própria verificação explícita da independência faria a afirmação válida — sem isso, não dá para garantir.
Passo 6
Dica prática para a prova (para te animar): quando você vir uma afirmação do tipo “se geram, então são base”, sempre verifique se falta “independência” ou informação sobre a dimensão. Se não houver essa informação, procure um contraexemplo simples em
(com vetores repetidos ou o vetor nulo) — costuma ser a maneira mais rápida de refutar.
Resposta
Falso.