Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, dê um contraexemplo.
(6 pontos) Se W=\mathcal{L}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\}, então \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} é uma base para W.

Passo 1

O enunciado dá a informação: W=\mathcal{L}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}.
A afirmação a avaliar é: “ \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é uma base para W”.
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
  • Se for verdadeira, justificar (mostrar por que sempre vale).
  • Se for falsa, fornecer um contraexemplo (um caso concreto em que W=\mathcal{L}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} mas \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} não é base de W).
Todas as informações relevantes do enunciado já estão listadas acima (nenhuma outra condição é dada sobre os vetores).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “ser uma base” de forma clara e prática (aulas rápidas, calma que eu explico devagar).
  • Uma família de vetores \{v_{1},\dots,v_{k}\} é uma base de um subespaço W se e somente se duas condições simultâneas valem:
  1. os vetores geram W, ou seja \mathcal{L}\{v_{1},\dots,v_{k}\}=W (span = W);
  2. os vetores são linearmente independentes.
  • “Gerar” (ou “span”) significa: qualquer vetor de W é combinação linear dos v_i.
  • “Linearmente independentes” significa: a única solução do sistema
a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+a_{4}v_{4}=0
é (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})=(0,0,0,0). Se existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Importante: gerar W (span) não garante, por si só, independência linear. Ambas são necessárias para ser base.

Passo 3

Raciocínio essencial: o enunciado só afirma que os vetores geram W. Falta afirmar a independência linear. Assim, a afirmação “se geram então são base” não é automaticamente verdadeira — é preciso verificar independência. Para mostrar que a afirmação do enunciado é falsa em geral, basta fornecer um contraexemplo em que os vetores geram W mas são linearmente dependentes.
Vou construir um contraexemplo simples em um espaço bem conhecido, \mathbb{R}^{2}, para ficar bem concreto.

Passo 4

Contraexemplo concreto em \mathbb{R}^{2}:
Escolha
v_{1}=(1,0),\qquad v_{2}=(0,1),\qquad v_{3}=(1,0),\qquad v_{4}=(2,0),
todos vetores de \mathbb{R}^{2}.
  • Primeiro, o span desses vetores é W=\mathcal{L}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}=\mathbb{R}^{2}. Explicando: \{v_{1},v_{2}\} já gera \mathbb{R}^{2}, então adicionar v_{3} e v_{4} não reduz o span; portanto o span dos quatro é \mathbb{R}^{2}.
  • Agora verificar independência linear: note que v_{3}=v_{1}. Então existe uma combinação linear não trivial que dá zero:
(-1)\,v_{1} + 0\cdot v_{2} + 1\cdot v_{3} + 0\cdot v_{4} = -v_{1}+v_{3}=0.
Os coeficientes (-1,0,1,0) não são todos nulos, logo os quatro vetores são linearmente dependentes.
Conclusão do contraexemplo: temos W=\mathcal{L}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}=\mathbb{R}^{2}, mas \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} não é uma base de W porque falha a independência linear. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa em geral.

Passo 5

Observação útil para a prova (como reconhecer quando a afirmação seria verdadeira): se além de \mathcal{L}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}=W soubermos que \dim W=4, então a afirmação passa a ser verdadeira. Explicação rápida: num espaço de dimensão 4, qualquer conjunto de 4 vetores que gere o espaço é necessariamente linearmente independente (um teorema padrão de espaços vetoriais finito-dimensionais), logo esses 4 vetores formam uma base. Portanto a hipótese extra “ \dim W=4” ou a própria verificação explícita da independência faria a afirmação válida — sem isso, não dá para garantir.

Passo 6

Dica prática para a prova (para te animar): quando você vir uma afirmação do tipo “se geram, então são base”, sempre verifique se falta “independência” ou informação sobre a dimensão. Se não houver essa informação, procure um contraexemplo simples em \mathbb{R}^{n} (com vetores repetidos ou o vetor nulo) — costuma ser a maneira mais rápida de refutar.

Resposta

Falso.

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